強化圖形引領 彰顯數學魅力

張建

[摘 要] 在數學的教學過程中，我們所要滲透給學生的不僅僅是知識與技能，還需要在知識與技能的建構過程中幫助學生積淀相應的思想與方法. 其實，高中數學階段有很多的思想與方法需要教師用心去滲透和灌輸，需要學生用心去積淀和領悟.

[關鍵詞] 數形結合；概念；問題；總結

“數形結合”在數學的學習過程中是最為常見，也是最為重要的一種思想方法，這既是在問題解答之中適用范圍十分廣泛的一種思想方法，也為我們揭示出了高中數學知識學習的一條捷徑——圖形. 但是，在部分學生的心目中，總會用慣常的思維來認識“數形結合”——那就是只有在具體數學問題的解答過程當中才會借助到圖形. 實際上，這種想法是十分狹隘的. 從某種程度上來講，數學教學就是一門圖形的藝術，圖形的加入，往往會使得抽象的理論內容具體化、靈活化，為知識的理解提供了極大便利. 因此，圖形不僅僅是問題解答的導航員，更是課堂學習的引領者. 筆者結合實際的案例，談談如何強化圖形在數學教學過程中的引領價值，如何深化它對學生數學思想積淀的影響.

[?] 圖形引領概念建構，深入細節堅實基礎

從知識接受順序來講，概念是數學學習的開端，也是知識建立的基礎，高中數學的概念構建越來越復雜、抽象. 而數學概念的理解又是數學學習的關鍵所在，更是學生開展后續數學學習和應用的基礎. 而且概念的建構過程也突顯了高中數學的精煉、抽象、復雜等特點. 雖然從文字表面看來，高中數學概念的篇幅并不長，卻往往蘊含著豐富的內涵. 往往簡單幾十個字，就足以通過很多道習題來予以檢驗. 而概念的建構過程又是那么曲折復雜，在建構的過程中更需要講究方法與技巧，更要在長期的學習過程中積淀相應的方法與技巧，最終轉化為學生的數學思想，提升學生的數學自主學習能力. 因此，僅靠學生一方的努力，是很難達成我們預設的效果的，很難提升學生的自主學習能力，也很難將數形結合的方法巧妙地滲透到概念的架構之中. 而這就需要我們教師在概念架構的教學過程中把概念與數形結合進行銜接，將概念的全部含義把握準確，將數與形巧妙地合為一體，讓學生在圖形的引領下，輕松自如地達成對概念的深入理解.

【案例1】 在冪函數的概念建構過程中，僅從字面上來看十分簡單，定義如下：一般地，函數y=xa叫作冪函數，x是自變量，a是常數. 然而，其中卻包含了a的不同取值所代表的不同形態的函數. 為了讓冪函數的概念全面細致地展現出來，筆者在對這個內容進行教學時，結合學生已經建構的其他函數的概念和圖像，引領學生將不同形態的冪函數圖像集中在了同一個平面直角坐標系當中（如圖1）. 由此，學生得以一目了然地看到了冪函數的全部，并對結合不同形式的冪函數的表達和圖像的差異建構了一個較為完整的認知，學會了判斷和辨別. 如果沒有圖形的輔助，這一細節是很難從文字上體現出來的. 除此之外，在概念的建構過程中，教師可以借助圖形的逐一呈現來協助概念的逐一達成，能讓概念的抽象慢慢顯現，讓學生在圖形的引領下完成對概念的逐一建構，變抽象為形象，變復雜為直觀.

教師如果站在學生的角度去審視數學概念的話，許多知識難免晦澀難懂. 而如果加入了圖形，便可以開辟一個新的途徑來詮釋概念. 圖形的方式，不僅讓冷冰冰的數學概念重新煥發出了生命力，還可以在圖形表示的同時，為學生展現出概念當中的許多細節，讓學生結合圖像對概念理解得更深、更細、更廣. 這些細節，都是學生在常規學習過程當中十分容易忽略、混淆的，卻是對學習效果具有決定性作用的. 在圖形的引領之下，關鍵細節得到凸顯，關鍵的難點和重點也得了突破. 此時，堅實的知識基礎也就此打下了.

[?] 圖形引領問題分析，一目了然清晰思維

在高中數學當中，冗長復雜的問題比比皆是. 面對這些問題時，如果只是對著文字本身展開思考，目光必然是狹隘的，思維也自然無法開闊. 這時，便需要圖形的引領與幫助. 在知識內容教學的同時，筆者在教學過程中，還十分重視對學生圖形構建能力的培養，甚至要求學生將畫圖變成自己面對數學問題時的一個條件反射，能習慣性地利用數形間的彼此轉化來達成對知識的架構、難點的突破、方法的鎖定. 這種情況下，圖形對于問題解答的幫助就更為明顯了，學生一旦能在平時的解題中順其自然地養成這樣的習慣，那么很多問題便會在無形當中顯現出來，迎刃而解.

【案例2】 三角函數一直是圖形引領的典型領域，也是高中數學的重點、難點之一. 當學生結束了對三角函數基本知識的學習之后，筆者提問：“請運用三角函數的相關知識判斷方程sin2x=sinx在區間（0，2π）中解的個數是多少.”問題雖然簡短，卻讓很多學生找不到頭緒. “這個方程應該怎么解？”“好像沒學過啊……”看到大家犯難的樣子，筆者及時啟發：“不然先試試把這兩個函數的圖像畫出來吧！”這個并不難. 當學生在同一直角坐標系中開始畫第二個函數的圖像時，便恍然大悟：兩個圖像的交點不就是這個方程的解嗎？（如圖2）何苦再去解方程呢？只要從圖像上數出交點的個數就夠了. 多么巧妙的圖形思維！

在復雜問題的分析解答過程當中，圖形就像是另一種語言，以一種具體、生動的方式對解題過程進行展現和突破；圖像更像一把萬能鑰匙，它隨著具體情況的變化而變化，打開所有突破的智慧之門. 也正是在圖形的輔助之下，學生更加清晰地明確了題目中已知條件之所述，與此同時，也得到了思維上的啟發，找到了解答問題的突破口. 圖形用其直觀形象的線條反饋它所能表達的特點和信息，引領學生的思維，讓問題顯現、思路清晰、方向明確. 這些思維收獲，都是單純的文字所無法在問題突破環節，圖形的協助不僅巧妙地突破了原先問題中的難點，還有效地幫助學生感受到數學學之有法、用之有道，感受到方法的重要性、圖形的重要性，在學習方法上啟迪了學生的智慧，激勵了學生的信心.

[?] 圖形引領知識總結，有機整合簡潔高效

高中階段的數學知識與技能的量是非常巨大的，而且難度也在日益增加，學生面臨的不僅僅是知識與技能的理解，更是思想與方法的應用. 想要將這些內容全部清晰地掌握住，就要做到階段性、系統性、方法性的總結與歸納、分析與對比. 而在這個總結與歸納的過程中，巧妙地運用圖形，總是可以實現零碎知識點的有機整合，讓學習過程簡潔高效. 教師如果巧妙地借助圖形進行系統的整理、框架的架構、思維的再現、方法的點撥，那么總結的效果將更加顯著，且可以輻射得更廣、更深、更科學.

【案例3】 筆者在帶領學生學習過柱體、椎體和臺體的體積計算問題之后，抓住三者之間的內在形態聯系，在課堂活動中，通過教師的提問、學生的回答，在一問一答的課堂互動中，激發學生的思維，啟發學生的智慧，為學生呈現出了下面的圖形（圖3）.

圖中不僅涵蓋了上述幾種幾何體，還形象地體現出了相互之間的動態變化過程. 在此基礎上，再將每種幾何體的體積計算方法配合起來，這部分的知識內容便被巧妙地整合到一張圖中了. 與零散的圖形、公式相比，這種結合圖形進行有機整合的總結方式，顯然高效多了. 這樣將這幾幅圖的特點、共性、差異、關系巧妙地聯成一整體，學生理解的高度和深度都將得到一定程度的提升. 這樣的總結為學生日后進行復習和應用指引了方向，夯實了基礎，有效地幫助學生輕松愉悅地完成了學習任務，提升了學習效率.

筆者始終認為，知識總結的精髓并不在于對已有知識內容的堆積羅列，而是能夠找到一個巧妙合理的方式，將所學內容的特點、規律提煉出來，從而加以整合，將知識越學越“少”，方法越提越“精”，在提煉的過程中滲透方法與思想，培養思維習慣，提升思維定位. 比如，在這里的圖形對比、總結，圖形便扮演了一個串連者的角色，幫助學生發現知識內容的本質，并在圖形的輔助下進行合并與記憶，引導學生要善于利用數形結合、類比等方法進行總結和歸納，為學生今后的學習和應用打下扎實的基礎.

通過前文當中的論述，我們可以明確地感受到，圖形對于高中數學的意義遠遠不止是優化問題解答過程這么簡單. 在任何一個教學內容與教學階段當中，圖形都發揮著不可小覷的作用. 筆者堅信，在圖形的有效引領之下，高中數學教學行為可以煥發出更具活力的生機和沖勁，教學效果也將比從前理想許多.