核心素養背景下初中生數學解題能力的培養

從麗華

摘 要：初中數學教學是由數學知識教學和解題教學組成的，通過解題教學來讓學生對所學的數學知識進行靈活地應用，可以提升學生對數學知識的掌握，實現對學生數學能力的培養.同時，學生的解題能力是數學核心素養下，需要進行重點培養的能力，所以教師在進行解題教學的過程中需要培養學生的習題解決能力和實際問題解決能力來提升學生的解題能力.本文將以三角形的相關試題為例來對初中數學的解題能力培養策略進行研究，希望對初中數學解題教學提供一定的幫助.

關鍵詞：核心素養；初中數學；解題教學；解題能力；三角形

初中數學教學的目標是讓學生能夠通過所學的數學知識來對數學問題進行分析和解答.同時學生的解題能力是一種檢驗教師教學質量的重要手段.所以在進行初中數學教學的過程中，教師需要基于數學核心素養來對學生的解題能力進行培養，讓學生能夠充分利用所學的數學知識來解決數學問題以及解決實際問題.下面將通過三角形的相關試題來對其進行說明.

1 原題呈現

例題1（2022年綿陽中考25題）：我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性質，如有關線段比，面積比就有一些“漂亮”的結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題，請用三角形重心的概念完成如下問題：

（1） 若O是△ABC的重心（如圖1）連接AO并延長交BC于D，證明：AOAD=23;

（2） 若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足AOAD=23，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明，如果不是，說明理由；

（3） 若O是△ABC的重心，過O作一條直線分別與AB，AC相交于G，H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究S四邊形BCHGS△AGH的最大值.

2 初中數學解題能力培養策略

2.1 培養學生認真審題的習慣

初中數學問題會根據題目所考查的知識點和出題形式的不同而進行題型的變換，所以初中數學解題教學的過程中，非常重要的一步就是需要教會學生如何對試題進行審題，讓學生養成良好的審題習慣.在審題的過程中，首先需要明確題目的意思，例如在例題1中采用了一長段的敘述來對三角形的重心進行了描述，然后需要通過三角形重心的性質來對問題進行求解.這里就需要學生對中線的性質有一個明確的認識，才能夠在后續解題的過程中能夠順利地對問題進行解決.然后找到題目中所隱含的已知條件，根據中線的性質，可以知道在△ABC中必然存在BD=DC這樣的等量關系，找到這個關系與解題的聯系.

2.2 根據審題來尋找試題的求解方式

通過審題來對試題進行梳理之后就需要結合審題所得到的相關關系來對試題的解題方式進行梳理，根據三角形重心的性質，可以在解題的過程中作出三角形的另一條中心，連接CO并延長交AB于P，就可以得到BP=PA的關系，這樣再將D，P進行連接就能夠得到PD=12AC，此時可以利用相似三角形的方式來證明AOAD=23，同時利用這樣的條件也很快能夠實現對第二個問題的證明.然后是第三個問題，這里題目中給定了這條直線是過三角形的重心，與三角形兩邊的交點不與三角形的頂點重合，要求面積比的最小值，那么首先就需要來對這兩個面積進行轉化，S四邊形BCHG=S△ABC-S△AHG，這樣就可以將原式S四邊形BCHGS△AGH轉化為S△ABC-S△AHGS△AGH，所以這里就需要對△ABC和△AHG的面積進行表示，然后就需要將三角形的面積關系轉化為三角形的邊長關系，利用三角形重心的性質來對邊長關系進行分析，這里可以知道△ABC和△AHG有一個共同的∠A，根據三角形的面積計算公式S=absinC2，可以對兩個三角形的面積進行表示，能夠得到S△ABC=AB·AC·sin∠BAC2，S△AHG=AG·AH·sin∠BAC2，這樣就可以將S△ABC-S△AHGS△AGH轉化為AB·ACAG·AH-1的形式.因此只需要找到 AB·ACAG·AH中線段存在的關系就可以對問題進行求解.如圖所示，連接CO并延長交AB于F，連接BO并延長交AC于E，然后過點O分別作OM∥AB，ON∥AC，利用（1）中所證明的AOAD=23關系可以得到OM=13AB，ON=13AC，在△AGH中有OM∥AG，ON∥AH，可以得到OMAG=OHGH，ONAH=OGGH，因為OG+OH=GH，所以OMAG+ONAH=1，利用OM=13AB，ON=13AC就能夠得到AB·ACAG·AH 的值來對問題進行解答.

2.3 正確進行試題的解答

試題的正確解答是初中數學解題能力培養的關鍵，在解題的過程中需要理清條件和結果之間的邏輯關系來保證試題的解答有理有據，所以在解題的過程中需要通過正確的試題解答邏輯來對解題的步驟進行表達.同時良好的邏輯關系的展現能夠讓學生在解題過程中充分掌握相關數學知識的應用，在后續的相似問題的解答過程中也能夠更加從容地對問題進行解決.下邊將通過對例題1的解題步驟來進行說明.

解：（1） 證明：如圖所示，連接CO并延長交AB于P，連接PD.

∵點O是△ABC的重心，

∴P為AB的中點，D為BC的中點，

∴PD是△ABC的中位線，即PD∥AC，PD=12AC.

∴∠DPC=∠ACP，∠PDA=∠CAD.

∴△OPD∽△OCA.

∴ODOA=PDAC=12.

∴AOAD=23.

（2） 點O是△ABC的重心，

證明：如上圖作△ABC的中線PC，兩條中線的交點為Q，則點Q為△ABC的重心，

由（1）可知AQAD=23，

∵AOAD=23，

∴點Q與點O重合.

∴點O是△ABC的重心.

（3） 如圖，連接CO并延長交AB于F，連接BO并延長交AC于E，然后過點O分別作OM∥AB，ON∥AC，

∵點O是△ABC的重心，

∴AOAD=BOBE=COFC=23.

∴OM=13AB，ON=13AC.

∵在△AGH中有OM∥AG，ON∥AH，

∴OMAG=OHGH，ONAH=OGGH.

∵OG+OH=GH，

∴OMAG+ONAH=1，即13ABAG+13ACAH=1，

∴ABAG+ACAH=3.

∵S四邊形BCHGS△AGH=S△ABC-S△AHGS△AGH，且S△ABC=AB·AC·sin∠BAC2，S△AHG=AG·AH·sin∠BAC2，

∴S四邊形BCHGS△AGH=AB·ACAG·AH-1.

AB·ACAG·AH=ABAG·ACAH，令ABAG=x，則ACAH=3-x.

∴S四邊形BCHGS△AGH=x（3-x）-1=-x-322+54.

∴當ABAG=x=32時，S四邊形BCHGS△AGH有最大值，此時S四邊形BCHGS△AGH=54.

2.4 試題回顧，尋找一題多解優化解題思路

初中數學的很多問題都可以采用不同的方式來實現對問題的求解，所以在進行解題教學的過程中教師需要通過對試題進行多種解答方式的分析，來對學生的解題思路進行拓展.實現對學生的解題能力進行培養.在例題1的解題教學中，上述（3）是較為常規的解題方式，當然也可以分別過B，C作BE∥AD∥CF（如圖所示）與直線GH交于E，F兩點，這樣就構建了△BEG∽△AOG，△CFH∽△AOH，從而就可以得到CFAO=AC-AHAH，BEAO=AB-AGAG，同時根據梯形的性質可以知道OD=12（BE+CF），且由AOAD=23可得AO=2OD，就能夠得到CFAO+BEAO=1，進而就可以得到AGAB+AHAC=1，此時根據上述（3）中的后續解答方式就可以對問題進行求解了.當然還可以采用如圖所示地過A，B，C，D四點分別作直線GH的垂線的方式來進行求解，這里具體的解題思路就不進行贅述了.通過這樣多樣化的解題策略能夠有效地拓寬學生的解題思路，提升學生的解題能力.

3 結語

綜上所述，本文通過一道三角形的相關例題來對初中數學解題教學中提升學生解題能力的策略進行了說明，在進行解題教學的過程中需要讓學生養成審題的習慣，通過審題來分析題目中的已知條件，找到隱含條件，為解題創造有利條件.然后需要根據審題所得到的信息對試題進行詳細的分析，再開始進行試題的解答，并且在解答的過程中需要讓解題的步驟邏輯嚴謹.最后通過對試題進行再次分析以尋找多樣化的解題思路從而拓寬解題思維，實現對學生解題能力的提升.希望對初中數學的解題教學提供一定的幫助.

參考文獻：

［1］ 王建華.核心素養視角下初中學生數學運算能力培養［J］.數理天地（初中版），2022（24）：18-20.

［2］ 陳少民.核心素養背景下初中數學推理能力的培養［J］.新課程，2020（49）：42.

［3］ 余曉君.核心素養下初中數學學生思維能力培養策略［J］.百科論壇電子雜志，2020（5）：586.

［4］ 徐青蘭.核心素養背景下農村初中留守兒童數學讀題能力培養策略分析［J］.考試周刊，2020（89）：95-96.

［5］ 董平.初中數學教學中學生解題思路的培養［J］.科普童話，2023（8）：80-82.

［6］ 焦小平.探究初中數學教學中如何培養學生的解題思路［J］.科普童話，2023（7）：70-72.

［7］ 郭力丹.科學把握數學教學情境指向性與開放性的關系［J］.數學之友，2022，36（2）：30-32.

［8］ 馬進.高中數學核心素養培育視域下的項目式學習研究［J］.數學之友，2022，36（2）：73-75.

［9］ 樊欣，馬小瓊，韋華益，唐劍嵐.動感技術的融合提質增效數學教學——以“反比例函數圖象與性質”教學片段為例［J］.數學之友，2022，36（2）：88-89.

［10］ 郭昭鵬.提高初中生幾何證明能力的教學研究［J］.數學之友，2022，36（3）：11-13.

［11］ 王峰.數學建模對高中生學習能力的培養探析［J］.數學之友，2022，36（3）：45-47.