談如何開發《探索勾股定理》的拓展性課程

姜紀華+毛作洪

摘要：本文以開發《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示了以學校教研組為團隊如何依托數學課本開發拓展性課程。以期拋磚引玉。

關鍵詞：數學教學；《探索勾股定理》；拓展性課程

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0087

眾所周知，勾股定理的內容非常豐富，但現行的教材（以浙教版為例）只安排兩個課時，教學受課時的限制，不能充分利用勾股定理發展學生的問題解決、人文積淀、理性思維等核心素養。本文以開發《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學校教研組為團隊如何依托數學課本開發拓展性課程，以期拋磚引玉。中國學生發展六大核心素養中有十八個基本要點，其中三個是問題解決、人文積淀、理性思維，《數學課程標準》的前言中也有類似的表述。對應三個基本要點確定三個課時的拓展性課程，在上完基礎性課程的兩個課時后進行。因篇幅所限，只展示每個課時的教學目標、學習內容及要求、課外作業。

第一課時：勾股定理在生活中的應用

設置緣由：數學課最缺的是實踐課，學生非常喜歡實踐課，開發團隊成員一致同意每學期開發一節實踐課。

教學目標：引導學生觀察生活，體驗生活中的數學，體驗用數學模型刻畫現實世界。

活動內容及要求：（1）帶學生參觀有人字梁結構的農村老宅，請當地手藝比較好的手藝人，一個木匠，一個泥水匠當講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時要先奠基，在一百多平方米的地上要設置很多個直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個木樁，兩個木樁之間的距離為三尺，調整第三個木樁的位置，使它與前兩個木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調。泥水匠師傅說，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個例子。一個例子是如何預算建造斜屋頂結構的房子用到的木料，特別是人字梁結構中斜線部分的木料長度的計算方法。第二個例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學生的互動，讓學生嘗試用數學模型解釋實際應用問題。

課外作業：找一個生活中實際用到勾股定理的例子，寫心得體會交流。

第二課時：勾股定理的歷史文化

收集方法：這部分內容多而雜。動員團隊所有成員參與，從網上和書本中搜集并整理。

教學目標：在對勾股定理歷史了解的過程中，感受數學文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數學知識源遠流長和數學價值的偉大。

學習內容及要求：

（1）勾股定理的發現：公元前1100多年的《周髀算經》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發現的。三國時的趙爽給出了證明，2002年北京國際數學大會的徽標就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達哥拉斯定理，是古希臘數學家畢達哥拉斯于公元前550年發現的。相傳畢達哥拉斯花了很多的精力才證明了這個定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。這個定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國、埃及等文明古國對此定理都有所研究。要求學生課前和課后整理出趙爽和畢達哥拉斯的相關成果，了解《周髀算經》等中國古代經典數學著作。

（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數與形結合的典范，啟發后人對函數的研究；②畢達哥拉斯學派的希帕索斯利用勾股定理導發現了根號2，引發了第一次數學危機，數從有理數擴展到實數；③勾股定理使數學在追求邏輯體系和數學美的過程中發展了現代數學；④勾股定理中的公式是一個最早的不定方程，引發了包括著名的費馬大定理。⑤勾股樹的拓展，勾股樹中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學生例舉數形結合的例子；能描述三次數學危機；能舉例一些現代數學；了解費馬大定理的內容及費馬的成就。

（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點很低，所以千百年來下至業余數學愛好者、普通的老百姓，上至著名的數學家、國家總統都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個定理的證明方法之多能超過勾股定理。

“總統”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國的議員伽菲爾德由于受到了兩個小孩的追問，開始對勾股定理證明進行思考……后來他在繼承的基礎上反復思考終于找到了獨特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國第二十任總統，人們就把這一證法稱為“總統”證法。要求學生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。

第三課時：勾股定理的證明方法

證明方法選擇的標準：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學生的證法。

教學目標：在勾股定理的探索過程中培養學生的理性思維和創新能力，體會深層次的數形結合；發展形象思維，體驗解決問題方法的多樣性，培養探索精神。

學習內容及要求：

（1）趙爽證法。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期的數學家趙爽。如圖1，就是趙爽創造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個全等的直角三角形拼成所示形狀，∵4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，∴a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細講。應讓學生認識到本題的證法并非嚴密的演繹推理，如圖形中的內外兩個正方形就沒有證明。

（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。

（3）總統證法。如圖 3， 這個證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。

（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊Rt△ABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結BF、CD，過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.∵AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，∴△FAB≌△CAD.∵S△FAB=（1/2）a2，而S△CAD等=（1/2）S矩形ADLM，∴S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.∵S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，∴c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應讓學生認識到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。

（5）相似三角形性質證法。如圖5，Rt△ABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過點C作CD ⊥AB，垂足為D.可證得△CAD∽△BAC， ∴AD/AC=AC/AB，∴AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，∴AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割線定理證法。如圖6，Rt△ABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因為∠BCA=90°，點C在⊙B上，所以AC是⊙B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）證法評析。中國證法的獨到之處是善用面積法，巧妙地避開了角的性質及平行線性質的繁瑣理論，簡潔明了，吳文俊、張景中等發展的數學機械化方法深受中國古代數學思想的影響。后三個證法追求嚴謹的邏輯體系，對提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學精神具有不可替代的地位。

課外作業：找一種勾股定理的證明方法與學生交流。

總之，要設計好《探索勾股定理》的拓展性課程，開發團隊要有廣闊的數學視野、深厚的數學史功底以及良好的數學理解能力。