巧借幾何直觀輕松學數(shù)學

林艷

[摘 要]面對抽象的數(shù)學概念、復雜的數(shù)量關系、枯燥的算理、捉摸不清的規(guī)律等數(shù)學知識，教師可以利用幾何直觀把教學資源變靜態(tài)為動態(tài)、變枯燥為鮮活、變無形為有形，讓學生輕松學數(shù)學。借助幾何直觀明晰概念、探索規(guī)律、分析關系；拓展幾何直觀的應用，挖掘有關教學素材；重視數(shù)形結合，培養(yǎng)畫圖意識，是幾何直觀教學的有效手段與途徑。

[關鍵詞]幾何直觀；概念；規(guī)律；數(shù)量關系；畫圖

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）05-0031-02

作為一名長期從事小學數(shù)學教學的一線教師，筆者經(jīng)常聽到學生對數(shù)學這門學科發(fā)出感慨，如“數(shù)學好難啊！”“數(shù)學很神秘。”“我根本聽不懂，好難理解啊。”……這或多或少反映出學生在學習數(shù)學過程中普遍感覺很難，信心與興趣不足。對于以形象思維為主的小學生來說，怎樣讓他們更輕松地學習數(shù)學，感受數(shù)學的魅力，一直是困擾數(shù)學教師的難題，而借助幾何直觀這把鑰匙，就可以有效幫助學生打開通往神秘的數(shù)學世界的大門。

一、幾何直觀的本質

“幾何直觀”是《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）提出的十個核心概念之一，也是新增的一個核心概念。課程標準指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中發(fā)揮著重要作用。”其中第一句話是對幾何直觀的兩種表現(xiàn)形式做的精煉概括，后兩句則表明了幾何直觀的作用。

那么，幾何直觀到底是什么？德國數(shù)學家克萊因認為：“數(shù)學的直觀是對概念、證明的直接把握。”我國著名的數(shù)學家、教育家徐利治教授指出：“直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數(shù)量關系的直接感知。”也就是說，幾何直觀能夠幫助人們將自身體驗與外物體驗建立起對應關系。其實，小學數(shù)學課堂歷來重視直觀教學，但過去的教學更多的是側重于直觀感知。如今的幾何直觀不再滿足于感性認識，還強調利用圖形洞察問題的本質。總的來說，幾何直觀既是一個過程，又是一個結果，既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點，兩者相互交織，互相關聯(lián)。

二、幾何直觀的應用

面對抽象的數(shù)學概念、復雜的數(shù)量關系、枯燥的算理，教師可以利用幾何直觀進行教學，使教學資源變靜態(tài)為動態(tài)、變枯燥為鮮活、變無形為有形，從而使學生的數(shù)學學習變得輕松愉快。現(xiàn)結合具體的例題說明幾何直觀在課堂教學中的應用。

1.借助幾何直觀明晰概念

小學數(shù)學概念大都是通過對同類事物中若干不同例子進行感知、分析、比較和抽象，以歸納方式概括出這類事物的本質屬性而獲得的。每建立一個全新的概念，教師都應把握好概念的內涵與外延，避免學生混淆概念。

如教學“方程的意義”時，我通過一架天平自然地架起“方程”這一概念與學生思維的橋梁。教學時，我充分利用天平的直觀性，使學生通過不平衡和平衡的反復比較，初步感知物體質量與砝碼質量之間產生的不相等和相等關系，體會數(shù)量之間的聯(lián)系。等式是方程的生長點，為了使學生更好地理解方程的意義，在脫離天平之后，可通過分類建立等式的概念，在此基礎上再對等式進行分類，揭示方程的本質——含有未知數(shù)的等式。到這里，學生對方程的意義是否已經(jīng)真的明晰了呢？我讓學生從黑板上密密麻麻的式子中分別圈出等式和方程。結果，部分學生就把方程歸為一類，把不是方程的等式歸為一類。顯然，這部分學生混淆了等式和方程的概念。這時通過辨析、反思、調整，“方程一定是等式，等式不一定是方程。”的結論便在學生的頭腦中得到強化。

從新課開始天平圖的使用，到探究新知過程中韋恩圖的幾次運用，教師借助幾何直觀讓概念逐漸明晰，讓學生經(jīng)歷從生活情境到方程模型的建構過程，感受集合思想。

2.借助幾何直觀探索規(guī)律

圖形直觀、形象的特點，決定了化數(shù)為形往往能夠達到以簡馭繁的目的。有時圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題；有時利用圖形直觀地揭示數(shù)學規(guī)律，解釋一些比較抽象的數(shù)學原理，可讓人一目了然。

如握手中的數(shù)學問題：20個人每兩人握手一次，一共要握手多少次？教師引導學生畫出表格化繁為簡，從最簡單的問題入手，用兩個點表示兩個人，握手一次可以用兩個點間的連線來表示，然后在逐漸增加條件的過程中探索規(guī)律。學生借助簡單的示意圖，可以清楚地知道有多少人握手，握手的總次數(shù)就是從1加到比握手的總人數(shù)少1的數(shù)，進而建立數(shù)學模型，即平面上的n個點可以連成[1+2+3+4+…+（n-1）]條線段。

又如植樹問題，可用形象的圖形輔助理解。學生通過畫出線段圖，發(fā)現(xiàn)植樹問題可能存在三種情況：

教材中“數(shù)學廣角”的許多內容都可以借助幾何直觀幫助學生探究規(guī)律，同時滲透數(shù)學思想方法，使學生深刻感受數(shù)學的魅力。

3.借助幾何直觀分析關系

幾何直觀是解決問題行之有效的方法。例如，教學用乘除兩步計算解決含有“歸總”數(shù)量關系的實際問題“小華的錢買3元一本的筆記本，正好可以買8本。用這些錢買4元一本的筆記本，可以買幾本？”時，由于題中涉及總價相等這一數(shù)量關系，用示意圖很難表示，而且數(shù)據(jù)較大，畫起來也很麻煩。這時，可以用上下兩條長度相等的線段表示總價不變，再將線段平均分成相應的份數(shù)。這樣既能清楚地說明總價一定，又能體現(xiàn)單價與數(shù)量的關系。通過畫線段圖，可建立起“歸總”問題的模型，即“總量不變，需要先用乘法算出總量”的數(shù)學模型。畫線段圖是一個“去情境化”的過程，它能把情境化的數(shù)量關系進行提煉，并進行直觀表達。可見，幾何直觀在分析數(shù)量關系、解決問題過程中有著不可替代的作用。

4.借助幾何直觀理解算理

小學生的抽象思維不足，需要借助直觀模型來幫助理解，尤其在面對枯燥難懂的算理時。

例如，教學“分數(shù)乘法”的算理時，教師可以利用長方形模型進行教學。對分數(shù)乘法計算算理的探索與理解歷來是教學的難點。根據(jù)學生的思維特點，教師可引導學生對一張長方形紙進行折疊和涂色等操作活動，借助幾何直觀，數(shù)形結合，使學生在理解分數(shù)乘法算理的基礎上掌握算法。

又如教學“分數(shù)除法”的算理時，教師可借助線段圖去解釋說明；教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時可利用面積模型來解釋算理；教學“乘法分配律”時，則可利用小棒圖去解釋筆算除法、筆算減法（退位）、筆算加法（進位）的算理；等等。借助幾何直觀，變“看不見”為“看得見”，可最大限度地降低學生理解算理的難度。

三、幾何直觀能力的培養(yǎng)

1.從低年級做起，重視直觀感知

培養(yǎng)學生的幾何直觀能力不是一蹴而就的，應從低年級開始就予以重視。教師應充分利用掛圖、實物、學具等激發(fā)學生的學習興趣，通過直觀教具、直觀圖形與數(shù)學符號的互相轉換，引導學生逐步學會利用圖形描述和分析數(shù)學問題。學生的指尖上充滿了智慧與創(chuàng)造力，教具演示與動手操作相互配合，就能促進學生建立知識的表象，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。

2.拓展幾何直觀的應用，挖掘教學素材

越是抽象、難以理解的內容，教學時就越應該借助幾何直觀。如果教師只是偶爾呈現(xiàn)相關材料，學生被動地接受結果，那么學生幾何直觀能力的培養(yǎng)根本無從談起。所以教師應該有意識地拓展幾何直觀的應用范圍，挖掘出可持續(xù)的學習素材，讓學生能經(jīng)常性地使用，這樣才能讓幾何直觀這種方法被學生自主內化。從一年級開始，教師就要有意識地引導學生畫出直觀示意圖，然后逐漸過渡為線段圖、韋恩圖、面積圖等直觀圖，由淺到深，使學生能夠靈活運用幾何直觀解決問題。

3.重視數(shù)形結合，培養(yǎng)畫圖意識

小學數(shù)學教材自始至終都貫徹著數(shù)形結合的思想，數(shù)與形相結合，相輔相成。“形使數(shù)更直觀”，教師應在教學中尋找教學契機，培養(yǎng)和發(fā)展學生的畫圖意識。事實上，不僅僅在解決問題上，畫圖策略也廣泛應用于小學數(shù)學中。教師可以鼓勵學生運用圖、表格、語言、符號等對某一概念和規(guī)律進行多重表達，在解決問題缺乏思路時鼓勵學生畫圖分析，鼓勵學生運用圖形來表達自己的思考過程。以前的教學只強調畫線段圖，其實學生畫的許多示意圖在本質上與線段圖沒有太大的差別。因此，教師要重視學生自己畫的示意圖，挖掘圖中的價值。學生畫圖的過程應該與數(shù)學思維過程緊密結合，教師要把這種聯(lián)系凸顯出來，如鼓勵學生說出畫圖的依據(jù)、圖的意思、表達思路等。

正如我國著名數(shù)學家華羅庚所說：“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。”教師在教學中應對幾何直觀的應用予以足夠的重視，在培養(yǎng)學生幾何直觀能力的過程中，啟迪學生的思維，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，讓學生輕松學數(shù)學，實實在在地感受到數(shù)學的魅力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 吳正憲，王彥偉，韓玉娟.吳正憲給小學數(shù)學教師的建議[M].上海：華東師范大學出版社，2012.

[2] 張丹.小學數(shù)學教學策略[M].北京：北京師范大學出版社，2010.

（責編 吳美玲）