淺析高中數學函數內容的教學

童成軍

[摘要]：在高中階段的數學教學中，函數是重要的教學內容。學生在今后學習高等數學時，良好的扎實的函數基礎可以在學習中起到事半功倍的效果。由于函數的概念比較抽象，教師教授起來比較復雜，學生掌握起來有時也會遇到困難，在學習函數時往往知其然不知其所以然，只明白解題方法和過程，但對于怎樣去尋找解題思路，運用什么知識去解題卻一概不知。針對這種情況，下面我就有關高中數學函數內容的教學進行淺析。

[關鍵詞]：高中階段 數學教學 函數

一、函數內容處理方式的分析

1、強調函數背景及對其本質的理解。

無論是引入函數概念，還是學習三類函數模型，課程標準都要求充分展現函數的背景，從具體實例進入知識的學習。以往教材中，將函數作為一種特殊的映射，學生對于函數概念的理解建立在對映射概念理解的基礎上。學生既要面對同時出現的幾個抽象概念：對應、映射、函數，還要理清它們之間的關系。實踐表明，在高中學生的認知發展水平上，理解這些抽象概念及其相互之間的關系存在很大困難。而從函數的現實背景實例出發，加強概念的概括過程，更有利于學生建立函數概念。一方面，豐富的實例既是概念的背景又是理解抽象概念的具體例證；另一方面，在實例營造的問題情境下，學生能充分經歷抽象概括的過程，理解概念內涵。

2、加強函數思想方法的應用。

函數是刻畫現實世界變化規律的重要數學模型。因此，函數在現實世界中有著廣泛的應用。加強函數的應用，既突出函數模型的思想，又提供了更多的應用載體，使抽象的函數概念有更多的具體內容支撐。比如，新增加的內容“不同函數模型的增長”和“二分法”，前者通過比較函數模型的增長差異，使學生能夠更深刻地把握不同函數模型的特點，在面對簡單實際問題時，能根據它們的特點選擇或建立恰當的函數模型反映實際問題中變量間的依賴關系；后者充分體現了函數與方程之間的聯系，它是運用函數觀點解決方程近似解問題的方法之一，通過二分法的學習，能使學生加深對函數概念本質的理解，學會用函數的觀點看待和解決問題，逐漸形成在不同知識間建立聯系的意識。

二、函數內容教學中的幾個關鍵問題

1、如何選擇生活實例。

無論是加強概念背景，還是突出知識的聯系與應用，能達到很好效果的重要因素就是要選擇合適的實例。那么，如何選擇實例才能有助于學生的學習呢？對于起到不同作用的背景實例和應用實例，標準并不完全相同。但總的來說，一是實例的背景知識應該盡量簡單，這樣可以避免因背景的復雜性而影響對數學知識本身的理解；二是實例應豐富，這樣有利于全面、準確地理解知識，不會產生偏差；三是實例應貼近學生生活、具有一定的時代性，這樣才會引起學生的共鳴，激發學習的興趣。比如，介紹函數概念時，教材選擇了用解析式表示炮彈飛行的問題、用圖象表示南極臭氧空洞的問題、用表格表示恩格爾系數的問題，第一個問題是學生在物理中就很熟悉的，后兩個問題是日常生活中經常提及的，背景相對來說比較簡單，學生就不會因為需要了解過多的背景知識而沖淡對函數概念的學習。而且重要的是，這樣的三個問題包括了不同的函數表現形式，利用它們概括函數概念，就可以消除初中學習中可能存在的一些認識偏差，使學生認識到無論表示形式如何，只要對于每一個x，都有一個y與之對應，就是函數，而這正是函數的本質特征。再如，根據汽車票價制定規則寫出票價和里程間的解析式，并利用解析式為售票員制作出我們在汽車上經常看到的“階梯形票價表”這類問題，貼近學生生活并具有現實的應用價值，能引發學生的興趣和學習的積極性。

2、如何展開函數概念。

對于突破函數概念這個難點，可以在整段函數內容的學習中采用顯化過程、加強聯系的方法。那么具體地，在從三個方向鞏固函數概念理解時，如何展開像函數的單調性、二分法這些概念，才能讓學生掌握它們，從而達到鞏固理解函數概念的目的呢？函數的性質就是研究函數的變化規律，這種規律最直觀的獲得來自于圖象，圖象的上升、下降就是單調性。問題在于如何幫助學生從幾何直觀上升到嚴格的數學定義。同樣地，二分法也需要經歷一個由直觀認識到數學定義的過程。為此，就需要將直觀到嚴格數學定義的過程劃分成幾個層次，為學生搭建認識的臺階，使他們逐步地獲得概念。比如，介紹函數單調性時，首先給出一次函數和二次函數的圖象，觀察它們的圖象特征，即上升或下降；然后用問題“如何描述函數圖象的‘上升‘下降呢”引導學生用自然語言描述出圖象特征；最后思考“如何利用解析式f（x）=x2描述‘隨著x的增大，相應的f（x）隨著減小……”，將自然語言的描述轉化成數學符號語言的描述，并一般化得到單調性的數學定義。通過這樣的三步，利用數形結合的方法展開單調性的概念，既有助于學生通過自己的努力獲得概念，而且也從數和形兩個方面理解了概念。

3、函數內容中如何使用信息技術。

在數學課程中使用信息技術已經毋庸置疑，同樣地信息技術的使用也是教材編寫中最為關注的問題之一。那么在函數中有哪些適合使用信息技術的內容，如何使用，以及在教材中使用的方式是怎樣的？

信息技術具有強大的圖象功能、數據處理功能和良好的交互環境，利用這些優勢，在函數這部分內容中可以使用信息技術的點主要有：求函數值、做函數圖象、研究函數性質、擬和函數等。運用常見的一些軟件，如excel、幾何畫板等就可以輕松地作出函數圖象，這在討論不同函數模型增長差異時發揮很大作用，從幾幅圖就能直觀發現增長的差異；運用計算器可以解決二分法中計算量大的問題，從而將更多精力關注到二分法的思想上，認識到函數和方程間的聯系；而計算機的交互環境則為學生的自主探究提供了強有力的平臺，豐富了學習方式，如討論指數、對數函數性質時，可以充分演示出圖象的動態變化過程，這樣就能在變化中尋求“不變性”，發現函數具有的性質。教材編寫時一方面在適合使用信息技術的地方給予提示，如“可以用計算機……”等；另一方面通過拓展欄目詳細地介紹一些信息技術應用的專題，如“用計算機繪制函數圖象”重點介紹使用常用軟件做函數圖象的方法，“借助信息技術探究指數函數的性質”給出探究的情境，要求學生親自利用信息技術發現規律，“收集數據并建立函數模型”介紹了如何用信息技術擬合函數，等等。通過這些方式，可以為教師和學生提供使用信息技術的機會和空間。