淺析高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容的教學

童成軍

[摘要]：在高中階段的數(shù)學教學中，函數(shù)是重要的教學內(nèi)容。學生在今后學習高等數(shù)學時，良好的扎實的函數(shù)基礎可以在學習中起到事半功倍的效果。由于函數(shù)的概念比較抽象，教師教授起來比較復雜，學生掌握起來有時也會遇到困難，在學習函數(shù)時往往知其然不知其所以然，只明白解題方法和過程，但對于怎樣去尋找解題思路，運用什么知識去解題卻一概不知。針對這種情況，下面我就有關高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容的教學進行淺析。

[關鍵詞]：高中階段 數(shù)學教學 函數(shù)

一、函數(shù)內(nèi)容處理方式的分析

1、強調(diào)函數(shù)背景及對其本質(zhì)的理解。

無論是引入函數(shù)概念，還是學習三類函數(shù)模型，課程標準都要求充分展現(xiàn)函數(shù)的背景，從具體實例進入知識的學習。以往教材中，將函數(shù)作為一種特殊的映射，學生對于函數(shù)概念的理解建立在對映射概念理解的基礎上。學生既要面對同時出現(xiàn)的幾個抽象概念：對應、映射、函數(shù)，還要理清它們之間的關系。實踐表明，在高中學生的認知發(fā)展水平上，理解這些抽象概念及其相互之間的關系存在很大困難。而從函數(shù)的現(xiàn)實背景實例出發(fā)，加強概念的概括過程，更有利于學生建立函數(shù)概念。一方面，豐富的實例既是概念的背景又是理解抽象概念的具體例證；另一方面，在實例營造的問題情境下，學生能充分經(jīng)歷抽象概括的過程，理解概念內(nèi)涵。

2、加強函數(shù)思想方法的應用。

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型。因此，函數(shù)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應用。加強函數(shù)的應用，既突出函數(shù)模型的思想，又提供了更多的應用載體，使抽象的函數(shù)概念有更多的具體內(nèi)容支撐。比如，新增加的內(nèi)容“不同函數(shù)模型的增長”和“二分法”，前者通過比較函數(shù)模型的增長差異，使學生能夠更深刻地把握不同函數(shù)模型的特點，在面對簡單實際問題時，能根據(jù)它們的特點選擇或建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型反映實際問題中變量間的依賴關系；后者充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，它是運用函數(shù)觀點解決方程近似解問題的方法之一，通過二分法的學習，能使學生加深對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，學會用函數(shù)的觀點看待和解決問題，逐漸形成在不同知識間建立聯(lián)系的意識。

二、函數(shù)內(nèi)容教學中的幾個關鍵問題

1、如何選擇生活實例。

無論是加強概念背景，還是突出知識的聯(lián)系與應用，能達到很好效果的重要因素就是要選擇合適的實例。那么，如何選擇實例才能有助于學生的學習呢？對于起到不同作用的背景實例和應用實例，標準并不完全相同。但總的來說，一是實例的背景知識應該盡量簡單，這樣可以避免因背景的復雜性而影響對數(shù)學知識本身的理解；二是實例應豐富，這樣有利于全面、準確地理解知識，不會產(chǎn)生偏差；三是實例應貼近學生生活、具有一定的時代性，這樣才會引起學生的共鳴，激發(fā)學習的興趣。比如，介紹函數(shù)概念時，教材選擇了用解析式表示炮彈飛行的問題、用圖象表示南極臭氧空洞的問題、用表格表示恩格爾系數(shù)的問題，第一個問題是學生在物理中就很熟悉的，后兩個問題是日常生活中經(jīng)常提及的，背景相對來說比較簡單，學生就不會因為需要了解過多的背景知識而沖淡對函數(shù)概念的學習。而且重要的是，這樣的三個問題包括了不同的函數(shù)表現(xiàn)形式，利用它們概括函數(shù)概念，就可以消除初中學習中可能存在的一些認識偏差，使學生認識到無論表示形式如何，只要對于每一個x，都有一個y與之對應，就是函數(shù)，而這正是函數(shù)的本質(zhì)特征。再如，根據(jù)汽車票價制定規(guī)則寫出票價和里程間的解析式，并利用解析式為售票員制作出我們在汽車上經(jīng)常看到的“階梯形票價表”這類問題，貼近學生生活并具有現(xiàn)實的應用價值，能引發(fā)學生的興趣和學習的積極性。

2、如何展開函數(shù)概念。

對于突破函數(shù)概念這個難點，可以在整段函數(shù)內(nèi)容的學習中采用顯化過程、加強聯(lián)系的方法。那么具體地，在從三個方向鞏固函數(shù)概念理解時，如何展開像函數(shù)的單調(diào)性、二分法這些概念，才能讓學生掌握它們，從而達到鞏固理解函數(shù)概念的目的呢？函數(shù)的性質(zhì)就是研究函數(shù)的變化規(guī)律，這種規(guī)律最直觀的獲得來自于圖象，圖象的上升、下降就是單調(diào)性。問題在于如何幫助學生從幾何直觀上升到嚴格的數(shù)學定義。同樣地，二分法也需要經(jīng)歷一個由直觀認識到數(shù)學定義的過程。為此，就需要將直觀到嚴格數(shù)學定義的過程劃分成幾個層次，為學生搭建認識的臺階，使他們逐步地獲得概念。比如，介紹函數(shù)單調(diào)性時，首先給出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，觀察它們的圖象特征，即上升或下降；然后用問題“如何描述函數(shù)圖象的‘上升‘下降呢”引導學生用自然語言描述出圖象特征；最后思考“如何利用解析式f（x）=x2描述‘隨著x的增大，相應的f（x）隨著減小……”，將自然語言的描述轉化成數(shù)學符號語言的描述，并一般化得到單調(diào)性的數(shù)學定義。通過這樣的三步，利用數(shù)形結合的方法展開單調(diào)性的概念，既有助于學生通過自己的努力獲得概念，而且也從數(shù)和形兩個方面理解了概念。

3、函數(shù)內(nèi)容中如何使用信息技術。

在數(shù)學課程中使用信息技術已經(jīng)毋庸置疑，同樣地信息技術的使用也是教材編寫中最為關注的問題之一。那么在函數(shù)中有哪些適合使用信息技術的內(nèi)容，如何使用，以及在教材中使用的方式是怎樣的？

信息技術具有強大的圖象功能、數(shù)據(jù)處理功能和良好的交互環(huán)境，利用這些優(yōu)勢，在函數(shù)這部分內(nèi)容中可以使用信息技術的點主要有：求函數(shù)值、做函數(shù)圖象、研究函數(shù)性質(zhì)、擬和函數(shù)等。運用常見的一些軟件，如excel、幾何畫板等就可以輕松地作出函數(shù)圖象，這在討論不同函數(shù)模型增長差異時發(fā)揮很大作用，從幾幅圖就能直觀發(fā)現(xiàn)增長的差異；運用計算器可以解決二分法中計算量大的問題，從而將更多精力關注到二分法的思想上，認識到函數(shù)和方程間的聯(lián)系；而計算機的交互環(huán)境則為學生的自主探究提供了強有力的平臺，豐富了學習方式，如討論指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)時，可以充分演示出圖象的動態(tài)變化過程，這樣就能在變化中尋求“不變性”，發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有的性質(zhì)。教材編寫時一方面在適合使用信息技術的地方給予提示，如“可以用計算機……”等；另一方面通過拓展欄目詳細地介紹一些信息技術應用的專題，如“用計算機繪制函數(shù)圖象”重點介紹使用常用軟件做函數(shù)圖象的方法，“借助信息技術探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”給出探究的情境，要求學生親自利用信息技術發(fā)現(xiàn)規(guī)律，“收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型”介紹了如何用信息技術擬合函數(shù)，等等。通過這些方式，可以為教師和學生提供使用信息技術的機會和空間。