淺談高中數學中圓和直線的關系

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摘要：我們在初中的數學學習中已經對直線與圓之間的關系有所了解，我們還知道了判斷直線和圓之間位置關系的幾種方法，比如可以根據直線與圓交點的個數或者根據直線與圓之間的距離大小與圓的半徑r來進行比較，從而判斷出圓與直線的位置關系。而我們在高中數學的學習中，在原來淺顯的基礎上又進了一步。高一時我們學習了解析幾何，所以現在考慮的問題是我們如何能很好地對圓和直線之間關系的判斷方法，而解決這一部分問題我們主要運用的是代數法和幾何法。

關鍵詞：高中數學；圓與直線；關系

我們在高中的一個學習重點就是關于直線和圓之間位置關系的問題，因為這種問題不僅對我們考察了與直線相關的知識，還對圓的知識進行了考察，這也體現出它的綜合性。的利用，比如圓的半徑。半弦長、弦心距、切線長定理等等。

一、圓和直線關系的基本概念

1.我們還可以利用幾何的觀點，也就是直線到圓心的距離d與圓的半徑r來進行比較，從而判斷二者間位置關系。第一，當dr，直線和圓的位置關系是相離。

2.當已知直線和圓相切的位置關系，題目主要考察的是我們對圓的切線方程進行求解。求這類問題主要有兩種情況，第一種是已知切線的斜率，第二是已知直線上的一點。在第二種方法中可以分為已知的一點在圓上或者圓外兩種情況，接著再用切線性質進行求解。第一，已知圓上有點p（x ，y ），那么圓x +y =r 的切線方程就是xx +y y = r ，可以得到圓（x-a） +（y-b） =r 的切線方程（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r。第二假如在圓外一點p（x0，y0），那么我們可以用直線與圓心的距離等于半徑求出切線的斜率，從而得到切線方程，這里要注意不能漏了不存在斜率的切線方程。

3. 直線和圓相交的問題，一般是與弦長和弦的中點有關系。

二、對直線和圓位置關系進行判定

在上文闡述概念時，我們已經有所了解如何去判斷圓和直線的位置關系，在這里加深闡述。當直線和圓之間有兩個公共的點，那么說明二者之間是相交的；如果直線和圓只有一個公共點，那么二者之間就是相切的關系；當直線和圓之間沒有公共點，那么二者之間就是相離的。

例如：設圓C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直線1的方程（m+1）x-my-1=0，對任意實數m，求直線和圓之間的位置關系。

解析：我們可以先求出直線恒過的一個定點，求出點和圓心之間的距離大小并與圓的半徑相比較。我們從直線1的方程 （m+1） x-my-1=0得到m（x-y） +x-1=0，直線恒過（1，1）點，根據方程 x2+y2-2x-2y-2=0可以知道圓心（1， 1），所以圓和直線都過點（1，1），且此點是圓心，那么二者的關系就是相交。此題主要考察的是圓和直線的位置關系，以及我們對轉化思想的掌握，在做這樣的題目是，我們要將圓與直線的關系轉換為點與圓的關系。

三、求圓上一點到直線的距離

對圓上的點到直線距離進行求解，我們中很多人在看到這樣的題目時找不到突破點。點到直線的距離求得就是點到直線垂線的長度，什么時候最大，什么時候最小。下面實例分析：

已知圓的方程x2+y2 =1求其上的一個點與直線3x+4y-25=0的距離的最小是多少？

解析：首先我們將直線到圓心的距離與半徑作比較，如果距離比圓半徑大，那么二者的關系就是相離，所以可以得到圓上的點到直線的距離就等于圓心與直線距離再把圓的半徑減去。解：圓心（o，o）到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最小距離為：5-1=4。故答案為：4。

考點：直線與圓的位置關系。點評：考查了學生數形結合的思想，轉化和化歸的思想。

四、截距相等問題

在解決截距相等的問題時，我們第一要考慮的就是截距都是0的情況，當截距不為0時，我們要考慮符合一定要一樣。我們不能簡單的認為截距就是距離，因為距離是非負，而截距可以為負。

例如：在x，y軸上截距相等并且與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切的直線有幾條？

解析：與在兩坐標軸上截距相等且與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，那么一定有過原點的2直線。還有斜率為-1的兩條直線。我們可以根據方程 （x-3）2+（y-3）2=8得到圓心為C（3 ， 3），求出半徑r=2，由|OC|==3，所以原點在圓外。當所求直線的方程的截距為O時，直線過原點，那么滿足題目的兩條直線有2條。當截距不為O時，設所求直線的方程為：x+y=a （不等于零） 。可得圓心和直線間的距離d=（3+3-a）/，則a=2或a=10，所以我們可以得到有兩條直線滿足題意。

五、直線與圓相交

此題我們用實例證明，假設直線1與圓 （x+1）2+（y-2）2=100在A，B兩點相交，點（-2，3）為弦AB中點，求直線1的方程表達式。

解析：我們可以根據已知圓的方程得到其圓心的坐標，把已知弦AB的中點與圓心相連，再根據垂徑定理的逆定理得出畫出的直線與直線1是互相垂直的，互相垂直的兩條直線的斜率乘積為-1，根據圓心和弦中點連線的斜率得到直線1的斜率，再根據直線1與弦中點的相交，得到直線1的方程。具體解法，首先圓（x+1）2+（y-2）2=100可以看出圓心為（-1，2），（-2，3）為弦的中點，圓心與其的連線斜率為（3-2）/（-2+1）=-1，得到直線1斜率為1，最后可得直線1方程為：x-y+5=0。

六、結語

綜上所述，對于直線和圓之間關系的學習首先我們要掌握二者之間位置關系的性質及判斷方法，它是學好這塊的基礎要求。對于這章的學習，我們要勤于動腦，了解掌握其中的轉化思想，這對我們的思維也有著很好的鍛煉。

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（作者單位：長沙市第一中學，湖南 長沙 410000）