淺談不等式中“一題多解”的教學思考

姚永亮

【摘要】不等式在高中的數學教學中有非常重要的地位和作用，對學生數學思想的培養和思維能力的訓練起著非常關鍵的作用.高中數學教學研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，或者說，“教學生什么”永遠比“怎么教學生”重要，我們教學的形式理應服務于教學的內容.因此，要改進當前不等式教學中的諸多問題和弊端，真正地使學生理解和掌握不等式的相關知識，并在不等式的學習中，逐漸領悟數學思想，培養自己的思維能力和創新意識，促進自身的全面發展和素質的不斷提高.

【關鍵詞】不等式；一題多解；數學教學

培養學生的數學思維能力是全面培養數學能力的主要途徑.數學是思維的體現，解決問題是學習數學的目的.但過多過密盲目地解題，不僅不會促進思維能力的發展、技能的形成，反而易使學生疲勞、興趣降低，窒息學生的智慧，只有“聞一以知十”解題，才能激發學生濃厚的學習興趣，促進他們思維的發展.一題多解無疑是激發學生興趣，開拓思路，培養思維品質和應變能力的一種十分有效的方法.下面將以一典型例題來談談“一題多解”在高中教學中的神奇效果.

例 設a，b∈R+，a+b=1，求證：1a+1b≥4.

此題是一個內涵豐富的不等式最值問題，問題中a+b=1這個條件，由于常數1的特殊性，我們會產生許多的聯想：（1）用a+b去乘任何數或式子，都不會改變它們的值；（2）利用三角函數進行換元；（3）構造函數等.這樣，我們就可以揭開此題“神秘的面紗”了.

解法1：

由于a，b∈R+，利用均值定理a+b≥2ab（當且僅當a=b時等號成立），則：

∵a+b≥2ab即2ab≤1，

∴ab≤14即ab≤a+b4，

∴a+bab≥4即1a+1b≥4.

解法2：

1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4（當且僅當a=b=12時等號成立）.

解法3：

由于a，b∈R+，根據柯西不等式，得1a+1b=1a+1ba+b=[（a）2+（b）2]1a2+1b2≥a×1a+b×1b2=4

當且僅當a1a=b1b即a=b=12時等號成立.

解法4：

根據sin2α+cos2α=1，利用換元法得：

令a=cos2α，b=sin2α，則：

1a+1b=1cos2α+1sin2α=sin2α+cos2αsin2α·cos2α=114sin22α=4sin22α≥4

（當且僅當sin22α=12α=π2+kπα=π4+k[]2π，即a=b=12時等號成立）.

解法5：

由a，b∈R+且a+b=1得b=1-a，則：1a+1b=1a+11-a0

f′（x）=-1x2+11-x2=2x-1x21-x2.

故x∈0，12時，f′（x）<0；x∈12，1時，f′（x）>0即f（x）在0，12上單調遞減，在12，1上單調遞増，

所以f（x）≥f12=4，即1a+1b≥4.

解法6：（反證法）

假設1a+1b<4，則：

∵a，b∈R+，故a+b<4ab.即ab>14.

而ab≤a+b22=14，兩者相違，故假設不成立.

∴1a+1b≥4.

上述主要是用綜合法、分析法、三角換元法、反證法、構造函數法等解決不等式問題，解不等式的方法多種多樣，層出不窮，我們在學習過程中還要不斷探索、研究，不斷總結.

總結 學生是學習活動的主體，因此，在教育教學活動中，必須充分尊重學生的主體地位.教學實踐不是單純地教授學生知識，而是引導學生自己探索，去發現去學習.因此，教師要有側重點地設計教學，充分挖掘學生的潛能.做到深入淺出地進行講解，對解答要有理有據，同時注意滲透數學思想，引導學生發現規律，并總結規律，把課堂交給學生，給學生足夠的時間、空間和機會.