研究生隨機(jī)微分方程課程的教學(xué)探索

楊曉麗++張麗

【摘要】研究生教育處于整個(gè)教育鏈的最頂端，如何做好研究生教學(xué)工作對(duì)教育強(qiáng)國(guó)具有至關(guān)重要的作用。鑒于此，本文對(duì)研究生課程隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性的教學(xué)方法和教學(xué)目的進(jìn)行分析探索，提出研究生教學(xué)工作既要傳授本學(xué)科堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)理論和系統(tǒng)的專業(yè)知識(shí)、又要培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究能力和創(chuàng)新精神。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)微分方程 隨機(jī)穩(wěn)定性 教學(xué)探索

【中圖分類號(hào)】O211.63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）09-0112-02

系統(tǒng)隨著時(shí)間的演化規(guī)律可以用微分方程來(lái)描述。隨機(jī)噪聲無(wú)處不在，它廣泛存在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工程領(lǐng)域。科學(xué)發(fā)展驅(qū)動(dòng)微分方程和隨機(jī)過程相結(jié)合而形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——隨機(jī)微分方程。隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性分析不僅有著深刻的理論意義，還具有潛在應(yīng)用價(jià)值，它廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)金融、非線性科學(xué)、航空航天、控制科學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)等領(lǐng)域。關(guān)于隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性已經(jīng)有一些成熟的理論和方法，感興趣的讀者可以參考專著[1]。常見的隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性定義有隨機(jī)穩(wěn)定性及隨機(jī)漸近穩(wěn)定性、P階矩穩(wěn)定性及P階矩漸近穩(wěn)定性、P階矩指數(shù)穩(wěn)定性及P階矩全局指數(shù)穩(wěn)定性、幾乎必然穩(wěn)定性等。

在隨機(jī)微分方程的教學(xué)過程中，教師不僅傳授給本學(xué)科的背景、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)理論和系統(tǒng)的專業(yè)知識(shí)，更要結(jié)合所從事的研究領(lǐng)域，更要引導(dǎo)學(xué)生，如何利用專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，逐步開展創(chuàng)新性的科研工作。接下來(lái)說明如何結(jié)合隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性的相關(guān)理論知識(shí)，展開復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作。事實(shí)上，隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的興起，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)正在成為描述、研究復(fù)雜體系的最合適模型。同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)集群動(dòng)力學(xué)的一種表現(xiàn)形式，它可以是系統(tǒng)輸出軌道的步調(diào)一致，也可以是系統(tǒng)之間相位的鎖定。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)演化規(guī)律可以由高維的隨機(jī)微分方程控制，從而隨機(jī)微分方程零解的穩(wěn)定性分析在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究中具有重要的應(yīng)用。具體地，我們闡述隨機(jī)時(shí)滯微分方程的LaSalle型不變性定理在耦合網(wǎng)絡(luò)同步研究中的應(yīng)用。

首先系統(tǒng)講解LaSalle型不變性定理的相關(guān)理論知識(shí)和該定理使用條件。

對(duì)于n維泛函隨機(jī)微分方程：

dx（t）=f（x（t），x（t-■），t）dt+g（x（t），x（t-■），t）dw（t）. （1）

其中f：Rn×Rn×R+→Rn，g：Rn×Rn×R+→Rnxm，f和g滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件，w（t）=（w1（t），w2（t），…，wm（t））T∈Rm是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則給定初值{x（？茲）：-■≤？茲≤0}=ξ∈■（[-■，0]；Rn），系統(tǒng)（1）在t≥-■上存在唯一的連續(xù)解，且對(duì)于任意給定的p>0，有E■<∞對(duì)任意T>0成立。

引理[2]（隨機(jī)時(shí)滯微分方程LaSalle型不變性定理） 假設(shè)系統(tǒng)（1）滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件，且存在函數(shù)V∈■2，1（Rn×R+；R+），？酌∈？詛1（R+；R+）以及ω1，ω2∈■（Rn；R+）滿足：（i）對(duì)任意的（x，y，t）∈Rn×Rn×R+，成立？詛V（x，y，t）≤？酌（t）-ω1（x）+ω2（y）.

則對(duì)任意初值？孜∈■（[-■，0]；Rn），系統(tǒng)（1）的零解為幾乎必然漸近穩(wěn)定的，即■x（t；？孜）=0。

進(jìn)一步引入耦合網(wǎng)絡(luò)模型，并闡述耦合網(wǎng)絡(luò)的演化方程與隨機(jī)微分方程、耦合網(wǎng)絡(luò)同步與隨機(jī)微分方程零解穩(wěn)定性之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生利用專業(yè)理論知識(shí)進(jìn)行科學(xué)研究。

Ui（t）∈Rn（i=1，2，…，N）是待定的控制函數(shù)。耦合網(wǎng)絡(luò)（2）在合適的控制函數(shù)作用下，將達(dá)到完全同步，具體如下：

定理 對(duì)于耦合網(wǎng)絡(luò)模型，如果采用下面的控制器和更新規(guī)則

Ui（t）=-ki（t）ei（t）-g（yi（t））+f（xi（t））-G（yi（t））■+F（xi（t））■+■（cij-dij）Qxj（t-■（t））. （2）

其中ki（t）是反饋強(qiáng)度，更新增益？姿為任意正常數(shù)，■和■是分別是未知參數(shù)？琢和？茁的估計(jì)，r1、r2>0，則耦合網(wǎng)絡(luò)在幾乎必然漸近穩(wěn)定性意義可以達(dá)到同步。

若定義誤差狀態(tài)變量ei（t）=yi（t）-xi（t），i=1，2，…，N，

則誤差系統(tǒng)可以表示為

dei（t）=[-ki（t）ei（t）-F（xi（t））（？琢-■）+G（yi（t））（？茁-■）+■dijQej（t-■（t））]dt+Hidw（t），i=1，2，…，N， （3）

顯然，該誤差系統(tǒng)是形如方程（1）隨機(jī)時(shí)滯微分方程，根據(jù)隨機(jī)時(shí)滯微分方程LaSalle型不變性定理，可以證明誤差方程（3）的零解是幾乎必然漸近穩(wěn)定的，從而耦合網(wǎng)絡(luò)在幾乎必然漸近穩(wěn)定性意義下達(dá)到完全同步。鑒于篇幅，具體過程略。

本文以隨機(jī)時(shí)滯微分方程的LaSalle型不變性定理在耦合網(wǎng)絡(luò)同步研究中的應(yīng)用為案例，說明隨機(jī)微分方程教學(xué)中不僅要講授專業(yè)的理論基礎(chǔ)知識(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生，如何利用專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，逐步開展創(chuàng)新性的科研工作，這為研究生利用本學(xué)科的專業(yè)知識(shí)進(jìn)行科學(xué)研究和創(chuàng)新起到拋磚引玉的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡適耕，黃乘明，吳付科.隨機(jī)微分方程. 北京： 科學(xué)出版社， 2008.

[2]X.R.Mao.A note on the LaSalle-type theorems for stochastic differential delay equation. J. Math. Appl.， 2002， 268 （1）： 125-142.

作者簡(jiǎn)介：

楊曉麗（1979-），女，漢族，博士，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向：隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。