“半成品”式的輔助學習要得嗎

胥傳翠

摘 要：借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。然而“半成品”式的輔助學習卻存在著很大的隱患，不利于培養學生認真審題的習慣和畫圖技能的形成，在教學用畫圖的策略解決問題單元時，落腳點是感受畫圖策略的價值，尋求解題思路，著力點則應是培養學生獨立構圖的能力。

關鍵詞：幾何直觀；畫圖策略；單元教學

2011版課標強調要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。

縱觀小學數學教材，幾何直觀的滲透和編排，經歷了從直觀的實物情境圖——抽象線段圖的認知過程，教學方式由半扶半放逐步向獨立構圖過渡，這樣的編排符合學生從直觀到抽象的認知特點。為了讓學生體會到畫圖策略的價值，使學生在解決實際問題的過程中學會畫圖、借助直觀圖示分析數量關系，正確解答實際問題，積累解決問題的經驗，同時為了六年級用畫圖的策略解決較復雜的分數實際問題，蘇教版在四年級下冊系統編排了“用畫圖的策略解決實際問題”單元。

本單元的兩道例題和練一練中提供的“半成品”圖形，包括練習八中的部分習題，顯示教材在編排時采用的是半扶半放的形式，在實際教學過程中，絕大部分教師沿著教材的思路組織教學，先呈現不完整的圖，然后在“你能根據題意把線段圖或示意圖填寫完整嗎”的啟發下，引導學生把題中的信息和問題補充完整，課堂教學非常順利，效果比較好，然而在課后的練習中卻出現了各種各樣的問題。

在這道實際問題中，對于“小春比小寧多12枚，兩人一共72枚”，大部分學生不知該如何在圖中表示出來，如上面的圖①、圖②和圖③；圖④、圖⑤、圖⑥三幅圖雖均能將信息和問題正確地表達出來，但從分析的角度看，圖④和圖⑤更便于清楚地看出數量關系，確定解題思路。這六幅圖清楚地反映了學生原生態的思維狀態，可以看出，部分學生還不能正確地用線段圖表示信息，即便能正確表示，對于畫幾條線段和先畫哪個量也比較模糊（就和差問題而言，先畫哪個數量似乎并不影響學生對問題的分析，但數學教學要瞻前顧后，三年級所學的和倍問題以及六年級將要學習的分數和百分數實際問題，都是先畫參照物，即1份的量或單位“1”的量，教學前后統一、相互關照，方能使學生對所學知識的認識逐步深入，故筆者認為此處理應強調先畫小寧的郵票枚數）。如果采取教材半扶半放“半成品”式的輔助學習方式，學生的這些問題都將被掩蓋，學生對于為什么畫兩條線段以及先畫哪個數量等問題沒有深刻的體會和認識，必將為以后獨立構圖埋下隱患。

問題二：不能根據實際問題的需要，精致表征實際問題的細節。

小建和小西買同樣的筆記本，小建買了3本，小西買了5本，小建比小西少花12元。筆記本的單價是每本多少元？（先畫出線段圖，再解答）（四年級下冊練習八第4題）

90%的學生都是圖1這樣沒有問題的不完整的圖，并不是他們忘記標出問題，而是他們不知道問題該標在哪里。由此可以看出，學生對于線段圖還處于模糊的認識之中，只能大概表示出信息的輪廓，卻不能精細乃至精致地表示出實際問題的細節。

問題三：缺乏洞察問題本質的能力，不能根據實際問題構造合適的圖。

學生遇到有關長方形或正方形的問題時統一畫示意圖，如下面兩題：

（1）梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？（例2）

（2）一個長方形菜園的周長是56米，長比寬多4米，這個菜園的面積是多少平方米？（《補充習題》）

由于例題是通過長方形的示意圖分析數量關系，許多學生受其影響，第（2）題也同樣用長方形來描述題意且所畫的圖中，長比寬多4米的表達不準確的占80%。這兩道解決問題的關鍵都是要求出長方形中未知寬的長度，第（1）題畫長方形示意圖可以清楚地看出原來的寬=“增加的面積÷增加的長”，而第（2）題其實是和差問題的變式，用線段圖更容易清楚地看出求寬的數量關系。

與2001版的實驗教科書相比，2013版教材在原來畫長方形或正方形表示面積變化的示意圖基礎上增加了線段圖和點子圖，且在練習中安排了許多富有變化、新穎的、具有挑戰性問題的實際問題，其意圖之一是使學生在解決問題的過程中能對實際問題進行甄別，合理選擇圖形（點子圖、線段圖、示意圖）揭示條件和問題之間的數量關系。但這種“半成品”式的輔助學習卻存在著很大的隱患，從學生的錯例可以看出，未真正經歷思考、辨析，僅僅是在教材的暗示牽引下畫圖，那么當問題發生變化時，學生就會束手無策，只能簡單套用，機械模仿，長此下去不僅不利于學生畫圖技能的形成，而且更難實現感受畫圖價值、發展幾何直觀、提高分析問題和解決問題能力的目標。筆者認為本單元教學的落腳點是感受畫圖策略的價值，尋求解題思路，著力點則應是培養學生獨立構圖的能力。

第一，儲備是獨立構圖的認知基礎

奧蘇伯爾說：“影響學生學習的重要因素是他的先備知識。”三年級倍的認識與和倍問題，學生經歷了“直觀的實物圖——抽象的線段圖”的認知過程，特別是和倍問題的學習，學生已經積累了一些畫圖的經驗，如和倍問題中的兩個量用兩條線段表示，先畫一倍的量（參照物），再畫幾倍的量，每份線段要一樣長；短的畫短一點，長的畫長一點等，這些儲備都為學生獨立構圖提供了認知基礎。

第二，經歷是合理構圖的必經之路

著名數學家陳省身指出：“數學是自己思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。但是，思考數學問題需要很長的時間?！睂W生的每一項技能的形成包括畫圖，都是一個循序漸進、不斷提升的過程，都是不斷從模糊走向清晰的過程。學生在用畫圖的策略解決問題結構、數量關系和解題思路等多方面變化的實際問題的過程中，只有經歷不斷地思考分析、比較優化，充分的體驗、感悟，才能逐步積累畫圖的經驗，也才能構造出合適的示意圖，進而幫助學生正確理解題意，分析數量之間的聯系，形成解題思路。如和差問題例題的教學，學生在獨立構圖的過程中出現了一條線段、兩條線段等合理或不合理、正確或不正確的六種情況，只有在討論交流中去辨析感悟，學生對“為什么畫兩條線段是合適的”的認識才能逐步從模糊走向清晰。

第三，合理構圖是正確解決問題的關鍵

畫圖最直接的目的是利用圖形將抽象的數學問題直觀地表示出來，進而使條件與問題之間的聯系形象、生動地呈現出來，這樣才能幫助分析數量關系，正確解決問題，但如果所構的圖形不正確或不合理，就很難理清數量之間的關系（如上述例1中的圖⑥），甚至會導致錯誤的理解（如上述例1中的圖①、圖②、圖③）。再如：張寧和王曉星一共有畫片86張。王曉星給張寧8張后，兩人畫片的張數同樣多。兩人原來各有畫片多少張？（四年級下冊練習八第10題）如果學生不能準確地將“王曉星給張寧8張后，兩人畫片的張數同樣多”在圖中表示出來，就很難正確地解決這道實際問題。

第四，獨立構圖是學生獨特見解的體現

獨立構圖，最重要的是有利于培養學生的個性解題能力，是學生獨特見解的體現。相同的問題，學生因思維發展的個性差異而描述表征的方式會有所不同，如前面提到的“一個長方形菜園的周長是56米，長比寬多4米，這個菜園的面積是多少平方米？”學生可能會用以下不同的方法描述問題：

由于“半成品”式的輔助學習存在著一定的暗示性，學生遇到貌似相同的問題會受其影響，不假思索地畫出相類似的圖形。只有將認真審題、分析思考、獨立構圖作為教學的著力點，學生才能從貌似相同的問題中發現其本質的不同，進而富有個性地去解決，出現如圖所示的三種不同的情況，盡管所構圖形不同，但都是學生真實思維的體現，獨立思考的結晶，都可以據此分析出長方形的長和寬的數量關系，從而求出長方形的面積。

《課標》指出：“學生教科書，僅僅是學生可以利用的教學資源之一”，葉圣陶先生也曾說過“教材無非是個例子”，在培養學生理性思維和創新能力的今天，教師必須樹立正確的教材觀，從學生的認知發展水平和已有的經驗出發，把握好用教材教的“度”，培養學生自主學習的能力，從而為學生的終身發展奠基。