探索重在以“課題學習”為主導的數學思維教學*
——“探究三角形的角平分線的交角關系”教學研究

●余獻虎

(衢州市實驗學校　浙江衢州　324000)

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探索重在以“課題學習”為主導的數學思維教學*
——“探究三角形的角平分線的交角關系”教學研究

●余獻虎

(衢州市實驗學校浙江衢州324000)

摘要：教學需要實踐，實踐才能創新.以“課題學習”為主導、學生小組合作學習為主體的數學教學，踐行“數學教學是數學思維的教學”這一精神，便于學生通過自主協作設置研究方向、發現問題、提出問題、解決問題，這樣的“主題式”教學，旨在尋求有利于“數學核心素養”養成的數學教學，為學生的終身學習能力養成打下基礎.

關鍵詞：主題式教學;自我發現;數學思維;數學核心素養

怎樣的數學教學是有效的？怎樣的數學教學有利于學生數學核心素養的養成？怎樣的數學教學有利于學生數學思維的拓展？諸類此類問題，常常困惑著教師，使得我們的教學猶如插在電線上的雞毛，風吹兩面，搖擺在理論與實踐之隙、現實與理想之間.在學習了浙江省教育廳《課程整合實施指導意見》后，依據“要根據學生發展及課程實施需要，以集中和分散相結合的方式，積極探索長短課、周課、月課、階段性課，鼓勵‘主題式’學習活動的實驗探索，培養以個人發展和終身學習為主體的核心素養”這一精神，結合筆者自己的教學實際，嘗試偏向于自我發現的課題學習型主題式教學研究和實踐.

偏向于自我發現的課題學習型主題式教學，強調學生在合作狀態下的自主研究和發現，注重在發現前提下的自主探究和證明.在教學中，筆者發現浙教版教材八年級上冊“認識三角形”一節的內容有：三角形高、中線、角平分線，每種“線”的內容都很豐富.完成本節內容之后，在公開示范的前提下，筆者實踐了偏向于自我發現的課題學習型主題式教學.限于篇幅，僅選取以“三角形角平分線”為載體的教學研究.

1教學實錄

師：同學們好，今天我們來研究三角形的角平分線交角關系.請各小組拿出研究圖形，結合已學知識，自主確定小組研究內容，自主研究圖形，如構造研究需要的射線、直線以完善研究圖形，添加適當的字母以便于表述和研究.

(教師附上學生備用圖,并在巡視中俯身聆聽學生的討論和意見.)

師(擊掌示意，停止討論)：請各小組匯報你們選定的研究內容及成果，對于猜想，不妨給出理由.

生1(第3組)：三角形的角有內角和外角，我們選擇內角的角平分線交角關系，選用了量角器作為我們的研究工具，量得∠A=47°.由于研究圖是一樣的三角形，我們在保留∠A不變的情況下作了如圖1～4所示的分割：

圖1 　　　　圖2 　　　　圖3 　　　　圖4

我們發現4種情況中∠E都是113.5°，大小不變.下面請生2補充說明當∠A不變時，∠E也不變的理由.

生2(第3組)：以圖2為例，根據角平分線的性質可知

∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，

從而

∠A+2∠EBC+2∠ECB=180°.

在△BEC中，∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，移項得

∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC，

變形得

∠A+2(180°-∠BEC)=180°，

化簡得

因此

∠E=113.5°.

生3(第7組)：我們選擇外角，直接通過論證得到了三角形2個外角平分線的交角度數與第3個內角度數之間的關系.

圖5　　　　　圖6　　　　　圖7

如圖5，∠FCB與∠EBC是△ABC的2個外角，OB，OC是角平分線，則

180°-2∠OCB+180°-2∠OBC+∠A=180°，

∠OCB+∠OBC+∠O=180°，

因此

我們取了∠A=40°，50°，80°，算得∠O=70°，65°，50°，滿足上述關系式.

師：第7組其他成員有補充嗎？

生5(第4組)：我們也研究外角，有更簡便的方法.把圖2和圖5結合到一起得到圖6，我們已經學過∠OBG=∠OCG=90°，小學里已經學過四邊形的內角和是360°，從而

∠BOC+∠BGC=180°，

代入得

師：關于三角形內角或外角的角平分線交角關系還有補充嗎？請結合剛才幾位同學的發言，猜想三角形的一個內角和與它不相鄰的外角平分線的交角關系.

師：請第8組派代表回答.

第1組：如圖8，在△ABC中，AG,GC,OC分別是∠BAC,∠BCE,∠ACB的角平分線，已知∠G=16°，求∠AOC的度數.

圖8　　　　圖9

第3組：如圖9，在△ABC中，∠A=48°，BA1，CA1分別是∠ABC，∠ACD的角平分線，BA2，CA2分別是∠A1BC，∠A1CD的角平分線，…，以此類推，求出∠A2，∠A5的度數.

師：請第1組的代表(生7)說明你所在組的意圖及解法.

生7：我們組根據第4組給出的圖形提出問題，主要是考查能不能發現∠G，∠B，∠AOC間的關系.解法有2種：

1)因為∠G=16°，那么∠B=32°，所以

2)因為CO，CG是角平分線，所以∠OCG=90°，于是

∠AOC=90°+∠G=106°.

師：生7的表達很清晰.第3組的代表(生8)呢，你們小組有何見解？

生8：我們組本來是用老師給的備圖，畫第3次時字母標不下，又重新畫了圖9，主要方法是找規律：

師：第3組的問題能不能再拓展成：以此類推，操作n次后，求出∠An.

師：老師根據生9的答案提一個問題：在第3組的問題中，當n為多少時，∠An的度數是最小整數？

師：好！其他組還提出了哪些新問題？

圖10

生11：我有3次操作，問題是：如圖10，BD，CD是△ABC的角平分線；BE，DE是△DBC的角平分線；DF，EF是△BDE的角平分線.1)若∠ACB=80°，∠A=40°，求∠DFE的度數；2)若∠DFE的度數是整數，問∠DFE至少是幾度？

師：通過操作聯系前后，生11提出的第2)小題有點繼往開來的味道.不錯的思路，接受挑戰吧！

生12：因為DF，EF是△BDE的角平分線，所以

生13：因為DB，DC是△ABC的角平分線，BE，DE是△DBC的角平分線，所以

因為DF，EF是△BDE的角平分線，所以

于是

∠DFE=180°-55°-27.5°=97.5°.

師：好，生13請坐.生12請繼續補充.

師：非常好！第2)小題應該關注條件的整除性，通過分析被8整除的最小整數來獲取結果.

圖11

接著教師也提了一個問題，供學生課后思考：如圖11，在△ABC中，∠ABC=90°，OA=OC，求∠BAC，∠ECG的度數.

師：請大家回顧一下這節課我們研究了什么內容？你有哪些收獲？你有哪些新感受？

生14：我學到了用分類思想研究問題的方法，既要看到內角平分線，也要看到外角平分線，還要把這2種角平分線放在一起研究.

生16：在問題解決時要注意知識前后的聯系、已知與未知的聯系.

生17：探究問題可以從簡單到復雜，還要及時歸納和總結.

師：大家通過自己的努力得到了三角形角平分線的交角關系，總結了3個結論，并在此基礎上提出問題，值得肯定，希望大家再接再厲.

2認識與感悟

我們當下的數學教學需要教什么？如何培養學生自主發現的意識和能力、自己動手驗證和證明的能力、自我發現正確與否的能力、應用自我發現解決問題的能力？這些問題觸動我們實踐“自我發現的課題學習型主題式教學”，但當下我們做不到讓學生完全地自我發現，基于此，筆者提出了“偏向于”這一關系.

本次研究完成了三角形中線、高線和角平分線這3個主題學習，每一塊內容都偏向于學生自主“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題、綜合研討、拓展創新”，旨在培養他們的幾何直觀和幾何證明等數學核心素養.同時，我們還有如下展望：

2.1主題是載體，重在自主

自我發現的主題式教學是依托確定的主題展開的教學活動.本節課的主題是三角形的角平分線的交角關系，即三角形的內角、外角的角平分線的夾角(不大于90°的角)的數量關系，課堂里教師會“俯身與學生交流”“沉默”，但不替代、不包攬，重在自主.

教學不能填滿學生學習的空間，要留有閑暇.也就是說，知識教學要夠用，但不能過度，知識教學過度會導致學生想象力和創造力發展受阻.因為學校教育絕不是給人生畫上句號，而是給人生準備好必要的“槳”.

這把“槳”說明聰明的教學應該以學生自主發展為導向，積極促使學生自主學習研究，實現開拓創新.本次教學研究倡導以課題學習為主導的數學思維主題式教學，其核心價值是自主研究，其核心目標是“落小、落細、落實”.

2.2突破“傳、授、解”，瞄準發現

“傳道、授業、解惑”為師者之精髓，思想雋永、深刻，但“傳、授、解”的字面有其不足，傾向于被動地接受.

自我發現的主題式教學倡導以“課題學習”為主導，需要落實“再創造”的數學學習過程.

荷蘭數學家弗萊登塔爾說過：學生學習數學唯一正確的方法就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生.

數學知識是經過歷史長河積淀、數學家高度概括抽象、現已存在的事實.這些事實，對于新接觸的學生來講，是全新和未知的.數學教學面臨的任務就是如何通過教學，讓對這些“陳舊”數學事實感到陌生的學生領悟和接納，并吸收其精髓，內化為個人的數學核心素養.本案例先給出通識素材，在達成一致的情況下由學生自主發現，有序拓展學習主體的數學學習眼界，突破“傳、授、解”，實現學生數學思維能力螺旋式上升.

2.3立足過程，意在思維

數學教學是立足于把學生的思維活動展開、輔之以必要的討論和總結，并加以正確引導的過程.數學教學中，應注意知識的形成、發展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題，以及用數學語言進行交流的能力[2].

本案例立足過程，秉承課程標準思想，意在思維.這個過程還啟示我們：

1)數學教學需要學生主動求取知識和組織知識，讓學生像科學家那樣去發現所學習的結論.三角形的角平分線分內角的角平分線和外角的角平分線，本案例就是研究這些角平分線的交角性質并證明，進而利用這些性質作新的研究.這就是學習法.

2)數學學習是學生獲取數學知識、形成數學技能、發展各種數學能力的一種思維活動過程，這種思維活動是有預定目標的變化過程[3].學生在數學學習的過程中，能主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證等數學活動，去獲得適應未來社會和進一步發展所必需的重要數學知識、技能、思維水平和解決實際問題的能力.

3)思維教學需要不斷地辨析和反思.辨析的目的是不斷地升華和探明，反思的目的是不斷地加工和整理.要改善知識結構，不僅要同化獲取的新知識，還要讓原數學認知結構也在獲取新數學知識的觸發下改造自身結構，以適應獲取數學新知識對數學認知結構的要求.當學生的數學認知結構形成新的格局時，會使學生誘發出新的聯想，產生新的思維方式，形成新的數學思想.后續研究，學生還有如下辨析：

①突破三角形框架：如圖12，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=α，∠DBE=β，求∠DCE的度數(用含α，β的代數式表示).

圖12　　　　　　圖13 　　　　　圖14

②打破一個三角形范疇：如圖13，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A=27°，∠C=39°，求∠M的度數.

這些反思，便于打開學生思維，讓學生在“做中學、學中煉、煉中悟、悟后明”，實現數學思維能力螺旋式上升，實現教與學的創新，實現數學核心素養的養成，為學生的終身學習能力養成打下基礎.

參考文獻

[1]吳華，張守波，劉寶瑞，等.數學課程與教學論[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[2]譚本遠.獲取數學知識的過程分析及其能力培養[J].數學教育學報，2009，18(5)：31-34.

[3]葉立軍，方均斌，林永偉.現代數學教學論[M].杭州：浙江大學出版社，2006.

修訂日期：*收文日期：2016-04-08；2016-05-10

作者簡介：余獻虎(1969-)，男，浙江開化人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

中圖分類號：O123.1

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-22-05