一道奧數競賽題的推廣*

●李春玲

(海安縣實驗中學　江蘇南通　226600)

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一道奧數競賽題的推廣*

●李春玲

(海安縣實驗中學江蘇南通226600)

摘要：依據微分泰勒中值定理確定的在開區間(a,b)內具有二階連續導數的函數f(x)存在的凹凸性，對第3屆IMO的一道競賽題進行了合理地擴充,證明了2個優美的不等式，從而揭示了解決此類型不等式的一般化方法.

關鍵詞：內切圓；導數；泰勒中值定理

(第3屆IMO試題)

筆者將這一不等式加以推廣，證明了以下2個優美的不等式．

定理1在△ABC中，記a，b，c為其邊長，S為其面積，k為任意給定的正整數，則

當且僅當a=b=c時，不等式取到等號．

顯然，當k=2時，該不等式即為例1中的不等式．

定理2在存在內切圓的凸n邊形中，設a1,a2,…,an為其各邊長，S為其面積，k為任意給定的正整數，則

當且僅當a1=a2=…=an時，不等式取到等號．

為了證明上述2個定理，先證明以下3個引理．

引理1設f(x)在開區間(a,b)內存在連續的二階導數f″(x)，其中x1,x2,…,xn∈(a,b),則

1)當f″(x)>0時，

當且僅當x1=x2=…=xn時，不等式取到等號．

2)當f″(x)<0時，

當且僅當x1=x2=…=xn時，不等式取到等號．

…

將上述n個式子的2邊分別相加，即得

1)當f″(x)>0時，x∈(a,b)，由泰勒中值定理可知，上述每個中值ξi亦必屬于開區間(a,b)，從而必有f″(ξi)>0，于是

即

因此，當且僅當x1=x2=…=xn時，不等式取到等號．

同理可證第2)小題.當f″(x)<0時，x∈(a,b)，

當且僅當x1=x2=…=xn時，不等式取到等號．

引理2設有n個正數，x1,x2,…,xn,k為任意給定的正整數，則

證明當k=1時，顯然成立.當k≥2(其中k∈N)時，考察函數f(x)=xk，x∈(0,+∞)，易求得f″(x)=k(k-1)xk-2，從而f″(x)>0，x∈(0,+∞).由引理可得

即

當且僅當x1=x2=…=xn時，不等式取到等號．

當且僅當x1=x2=…=xn時，不等式取到等號．

圖1

定理1的證明如圖1所示，設△ABC內切圓的圓心為I，內切圓半徑為r，則

從而

于是

a+b+c=r[(tanα1+tanα2)+(tanβ1+tnaβ2)+(tanγ1+tanγ2)],

由引理3，得

于是(a+b+c)2=r2[(tanα1+tanα2)+(tanβ1+tanβ2)+(tanγ1+tanγ2)]2≥

(1)

(2)

知

顯然，欲使不等式取到等號，必須而且只須不等式(1)和不等式(2)均取到等號．

根據引理2的證明可知，若k≥2(其中k∈N)，則不等式(2)取到等號的充要條件是a=b=c；若k=1，則不等式(2)結論平凡．但由于不等式(1)取到等號的充要條件是a=b=c，因此，不等式(2)當且僅當a=b=c時取到等號．

值得指出的是:例1有多種簡潔明快的證法，但是這些證法只限于三角形，難以推廣到有內切圓的凸n邊形情形(其中n≥3,n∈N)．筆者給出的定理1的證明顯然給出了例1的新證法，更重要的是此證法不難推廣到一般情形，即用完全類似的方法可以完成定理2的證明．

參考文獻

[1]IMO中國國家集訓隊教練組.數學奧林匹克試題集錦[M].上海：華東師范大學出版社，2010.

[2]鄧東皋.數學分析簡明教程(上冊)[M].北京：高等教育出版社,2006.

修訂日期：*收文日期：2016-03-17；2016-04-26

作者簡介：李春玲(1975-)，女，江蘇南通人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

中圖分類號：O122.3

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-48-03