二次遞推型數(shù)列試題的內涵與常用解決方法*

●許　仲

(天臺中學　浙江天臺　317200)

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二次遞推型數(shù)列試題的內涵與常用解決方法*

●許仲

(天臺中學浙江天臺317200)

摘要：以一元二次函數(shù)為依托、以遞推為手段給出的數(shù)列，一般都是利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=x的相對位置關系構造試題.解決此類試題的主要技巧是變形，包括因式分解變形、配方變形、倒數(shù)變形、分式型裂項變形等.若含有和式，則通項往往隱含在遞推關系式中，需要通過變形進行轉化．

關鍵詞：遞推數(shù)列;二次函數(shù);變形技巧

2015年浙江省數(shù)學高考理科試題的壓軸題就是此類型的試題.根據(jù)筆者的教學經驗，在平時教學中經常會接觸到該類試題，因此，研究它的內涵與解決方法是十分必要的．

1二次遞推型數(shù)列的內涵

此類數(shù)列是以二次函數(shù)圖像、性質等為背景，以遞推為手段給出的.命題者在構造時，依據(jù)的就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=x的相對位置關系．

(2015年浙江省數(shù)學高考理科試題第20題)

1.1命題背景分析

圖1

1.2證明過程

證明1)由題意得

即

an+1≤an，

從而

又由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)(1-an-3)…(1-a1)a1>0，從而

這樣，可以得到

2)由題意可得

由累加法得

Sn=a1-an+1.

根據(jù)題設條件知

即

因此，由累加法得

即

結合Sn=a1-an+1得

2二次遞推型數(shù)列常用的變形技巧

首先要注意遞推式所依托的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的有關性質，如開口方向、對稱軸、頂點和經過的一些特殊點、在定義范圍內的單調性與凹凸性，還有與一次函數(shù)y=x的相對位置關系等．

解決此類型數(shù)列相關問題的技巧有：因式分解變形、配方變形、倒數(shù)變形、分式型裂項變形等[2-3]．

回顧例1的解決過程，上面的變形方法都已經涉及到了．現(xiàn)在一起來領略下面例題的解決過程．

1)求證：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；

(2015年浙江省臺州市高一第2學期數(shù)學統(tǒng)考試題)

2.1命題背景分析

圖2

2.1證明過程

1)證法1對于任意n，有

由題設條件an>2得

an+1-an>0，

即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

結合an>2可得an+2-an+1與an+1-an符號一致.這樣，由歸納可知:an+2-an+1的符號取決于a2-a1的符號，而

從而數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

評注由以上解決過程發(fā)現(xiàn)：例2的條件可以減少，由an>2變?yōu)閍1>2就可以了．

2)證明由a1=3，得b1=1.由an+1-2=(an+2)(an-2)，知

3二次遞推型數(shù)列的求和技巧

關于數(shù)列求和，平時學習的方法很多，主要有公式法、分組求和法、轉化為等差(等比)等基本數(shù)列求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等，其中后2種方法在此類數(shù)列中應用較多．

在二次遞推型數(shù)列中，和式的通項往往隱含在遞推關系式里，需要依賴第2部分的變形技巧凸顯、轉化出來，方法可參考例1和例2的解決過程．

當然，在此類型的數(shù)列中，有些變形、轉化后的項還是無法直接求和，或者題目需要證明和式小于或大于一個式子(如例2)，此時放大或縮小的技巧轉化為“先求和，然后對和式進行放大或縮小處理”．

即

(這是一個實質性的發(fā)現(xiàn)，它使得目標和式可以求和了),亦即

這樣，當n>3時，

an-an-1>an-1-an-2，

an-1-an-2>an-2-an-3，

…

a3-a2>a2-a1，

a2-a1=a2-a1，

得

即

從而

即

參考文獻

[1]盧明.穩(wěn)中求變體現(xiàn)創(chuàng)新[J]．中學教研(數(shù)學)，2015(8)：21-25.

[2]汪葉清，褚人統(tǒng).對常用的復雜數(shù)列通項公式遞推數(shù)列類型的探究(上)[J]．中國數(shù)學教育，2011(3):38-40．

[3]汪葉清，褚人統(tǒng).對常用的復雜數(shù)列通項公式遞推數(shù)列類型的探究(下)[J]．中國數(shù)學教育，2011(4)：35-36.

修訂日期：*收文日期：2016-02-01；2016-03-28

作者簡介：許仲(1979-),男,浙江天臺人,中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

中圖分類號：O122

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-39-03