一道數學競賽試題的反思、變式與應用*

●金若翀

(金華市第一中學　浙江金華　321015)

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一道數學競賽試題的反思、變式與應用*

●金若翀

(金華市第一中學浙江金華321015)

摘要：文章從2016年浙江省數學競賽試題第17題出發，研究過圓錐曲線上任一點P作傾斜角互補的2條任意直線PA，PB，分別交圓錐曲線于點A，B，則直線AB的斜率為與點P坐標有關的定值問題，并對該結論進行變式與應用.

關鍵詞：競賽試題;變式結論;韋達定理;直線斜率;應用

筆者于2016年4月參加了浙江省數學競賽,其中第17題如下：

1)求橢圓C的方程.

2)過橢圓C的右焦點作斜率為k的直線l，交橢圓C于不同的2個點A,B，記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.若k1+k2=0，求斜率k.

證明設PA的斜率為k,則PB的斜率為-k，從而直線PA,PB方程分別為

注意到該一元二次方程的一個根就是x=c(即點P的橫坐標)，由韋達定理知該方程的2根之積是

而點B的橫坐標只要用-k去代替點A橫坐標中的k就可以得到

因此直線AB的斜率為

于是有如下變式：

證明設PA的斜率為k,則PB的斜率為-k，從而直線PA，PB的方程分別為

y=k(x-x0)+y0，y=-k(x-x0)+y0.

(b2+a2k2)x2+2a2(y0-kx0)kx+

[a2(y0-kx0)2-a2b2]=0,

注意到該一元二次方程的一個根就是x=x0(即點P的橫坐標)，由韋達定理知該方程的2根之積是

點B的橫坐標只要用-k去代替點A橫坐標中的k就可以得到

因此直線AB的斜率是

(證明略.)

同樣，對拋物線，結論又為如下變式：

ky2-2py+y0(2p-ky0)=0.

筆者發現，近幾年全國各地數學高考及模擬試題中都有以上變式結論的應用，舉例如下：

1)求橢圓C的方程；

2)E,F是橢圓C上的2個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

(2009年遼寧省數學高考理科試題第22題)

評注變式1結論的應用.

1)求橢圓C的方程.

(2016年金麗衢十二校第一次理科數學聯考試題第19題)

評注變式4結論的應用.

修訂日期：*收文日期：2016-04-19；2016-05-19

作者簡介：金若翀(2000-),男，浙江金華人，高中學生.

中圖分類號：O123.1

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-45-03