題小乾坤大　九法妙解它*
——對一道調(diào)研試題多種解法的探究與評析

●李益民

(蘭溪市第一中學(xué)李益民名師工作室　浙江蘭溪　321102)

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題小乾坤大九法妙解它*
——對一道調(diào)研試題多種解法的探究與評析

●李益民

(蘭溪市第一中學(xué)李益民名師工作室浙江蘭溪321102)

摘要：2016年浙江省調(diào)研卷理科第16題簡潔明了，通俗易通，但構(gòu)思巧妙，意境深遠(yuǎn).深入研究試題后，可以將高考中高頻出現(xiàn)的重點(diǎn)、難點(diǎn)知識和解題技巧梳理一遍.結(jié)合學(xué)情從不同視角探討試題9種解法及變式，有助于教師在教學(xué)實(shí)踐中把握與應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：調(diào)研試題；解題技巧；思想方法；高考復(fù)習(xí)

例1在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知acosB=bcosA，邊BC上的中線長為4．

2)求△ABC面積的最大值．

(2016年浙江省調(diào)研試題第16題)

試題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．試題簡潔明了，通俗易通，但構(gòu)思巧妙，意境深遠(yuǎn)，上手容易深入難，特別是第2)小題，要在短時(shí)間內(nèi)解決并非易事.該題打破了以往“第1)小題都是送分題”的觀念，能真實(shí)反映出一個(gè)學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．若教師能深入研究，將高考中高頻出現(xiàn)的重點(diǎn)、難點(diǎn)知識和解題技巧梳理一遍，并且呈現(xiàn)一個(gè)較好的應(yīng)用平臺，則該題是一道其貌不揚(yáng)、不可多得的好題．筆者著重剖析第2)小題．

由已知acosB=bcosA得sin(A-B)=0，因此A=B，故△ABC為等腰三角形(以下9種解法都將此作為已知條件，不再另行證明)．

1以角為自變量，建立三角函數(shù)模型

解法1(由命題者提供)由A=B知

c=2acosA，

及

解得

從而△ABC的面積為

在解法1的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新，走“平民化”路線，得到如下新的解法．

解法2設(shè)AC=2x，則CD=DB=x，∠C=θ(其中0<θ<π).在△ACD中，由余弦定理得

16=4x2+x2-4x2cosθ，

以θ為自變量，得

(1)

評注學(xué)生習(xí)慣解形如y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h的三角函數(shù)的最值問題，在此又獲得知識的增長點(diǎn)——借機(jī)復(fù)習(xí)分式型三角函數(shù)值域的求法，無意插柳柳成蔭．

下面用3種方法求式(1)的最大值：

方法2式(1)去分母得

32sinθ+4Scosθ=5S，

由輔助角公式，得

而|sin(θ+φ)|≤1，從而

解得

方法3對式(1)關(guān)于θ求導(dǎo)得

令S′=0，得

圖1

2以腰長為自變量，建立函數(shù)模型

解法3如圖1，設(shè)AC=2x，則

CD=DB=x，

在△ACD中，由余弦定理得

進(jìn)而

評注有許多學(xué)生看到sinC表達(dá)式復(fù)雜(既有根號與分式，又出現(xiàn)x的4次冪)，知難而退.事實(shí)上，再做下去發(fā)現(xiàn)根號里可化為整式，且出現(xiàn)“二次函數(shù)”型．

從而

評注這2種解法比較大眾化，解法3比解法4容易想到，但能算出最終結(jié)果的學(xué)生不多，主要是預(yù)見性不足，擔(dān)心運(yùn)算繁雜中途夭折而提前放棄．事實(shí)上，解法4運(yùn)算量不大，利用平方差公式，并且調(diào)整系數(shù)后可促成使用均值不等式，達(dá)到既簡又快的目的．

3引入多個(gè)變量，容易建立目標(biāo)函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)

解法5設(shè)AC=2x,CD=BD=x,AB=y，因?yàn)椤螦DC+∠ADB=π,所以

cos∠ADC=-cos∠ADB,

即

亦即

2x2+y2=32,

評注△ADC與△ADB有公共邊AD，∠CDA與∠BDA成為鄰補(bǔ)角，2個(gè)三角形的元素實(shí)現(xiàn)資源共享，使得腰和底邊產(chǎn)生有機(jī)聯(lián)系，這是一種常用的解三角形的手段．

圖2

由于中線的作用，只要求出△ACD的最大面積即可，若以AD為底，只要求出高的最大值即可，得到新的解法如下：

解法6如圖2，過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E.設(shè)DE=y，由

CE2=AC2-AE2=CD2-DE2,

得

4x2-(4+y)2=x2-y2,

整理得

于是

故

評注解法6以初中勾股定理知識為主角，建立x,y的關(guān)系，再將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，一招制勝．

4解析法是研究平面幾何的有利武器

圖3　　　　　　　圖4

例1給出的條件含蓄，偽裝巧妙，使得“等腰”和“中線AD的長”作用不明顯，想不到這其實(shí)是阿波羅尼斯圓的應(yīng)用．

解法7由題設(shè)知AC=2CD，因此點(diǎn)C的軌跡是阿波羅尼斯圓，求其軌跡方程．如圖3，以AD所在直線為x軸、AD的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(-2,0),D(2,0)．設(shè)C(x,y).因?yàn)閨AC|2=4|CD|2，所以

(x+2)2+y2=4[(x-2)2+y2],

整理得

評注由于題目條件和題型暗示，使學(xué)生深陷解三角形常用方法的思維定勢，從而缺少創(chuàng)造性思維，想不到解析法在此獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷．

5發(fā)揮創(chuàng)造性思維優(yōu)勢，出奇制勝

圖5

解法9如圖5，取AB的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE交AD于點(diǎn)G，則G為△ABC的重心，從而

于是

2AE·EG，

故

評注三角形的重心能將三角形面積六等分，并且巧妙選擇Rt△AEG或Rt△BEG，達(dá)到“秒殺”境界．“秒殺”的方法和能力不是與生俱來的，而是在于平時(shí)知識的積累、求異思維的訓(xùn)練，特別是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積淀，這是師生雙方共同配合與創(chuàng)造的．

6試題變式，空谷幽香

例1可改編為一道“高難度”的填空題：

例2已知等腰△ABC，AC=BC，BC上的中線AD長為4，則△ABC周長的最大值為______．

解法1在前面解法5的基礎(chǔ)上得到

(2)

令△ABC的周長為C，則C=4x+y，從而

方法1C2=(4x+y)2=16x2+y2+8xy=

18x2+9y2=9×32,

故

方法2將式(2)看作為橢圓方程，將C=4x+y看作直線方程，從而理解為直線與橢圓有公共點(diǎn)．將y=C-4x代入式(2)整理得

18x2-8Cx+C2-32=0.

由Δ≥0，得

C2≤288,

故

解法2因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以

從而

64+4x2=2y2+8x2，

即

2x2+y2=32，

下同解法1．

圖6

解法3根據(jù)人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》第109頁例1的結(jié)論：平行四邊形2條對角線的平方和等于2條鄰邊平方和的2倍(如圖6)，則

82+(2x)2=2(4x2+y2),

即

2x2+y2=32，

下同解法1．

評注由于題設(shè)條件弱，三角形不確定，將例1中“求面積最大值”改為“求周長的最大值”，題目內(nèi)涵絲毫不遜色，并且也產(chǎn)生精彩紛呈的解法．例2的解法3與解法2實(shí)質(zhì)一樣，教材中就是由解法2推導(dǎo)出平行四邊形性質(zhì)．由此可見，能熟悉一些常用結(jié)論，能縮短思考時(shí)間，直奔主題．

綜上所述，通過對一道調(diào)研題的深入剖析，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了分式型三角函數(shù)求值域的幾種常用方法、均值不等式的綜合應(yīng)用、根號下“二次函數(shù)型”求最值、向量、求導(dǎo)、阿氏圓、海倫公式、余弦定理、平行四邊形性質(zhì)及解題思想方法：數(shù)形結(jié)合、解析法(軌跡思想)、判別式法、三角換元法等．由此可見題目選得好，教師鉆得深，學(xué)生能領(lǐng)悟，高考復(fù)習(xí)事半功倍．

修訂日期：*收文日期：2016-03-01；2016-04-02

作者簡介：李益民(1970-)，男，浙江蘭溪人，浙江省特級教師.研究方向：學(xué)校管理和數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號：O124.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-14-04