一類二次函數考題的平移背景研究*

●石秀福　王希年

(杭州高級中學　浙江杭州　310003)

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一類二次函數考題的平移背景研究*

●石秀福王希年

(杭州高級中學浙江杭州310003)

摘要：二次函數的開口大小只與二次項系數有關.2個二次函數只要二次項系數相同，那么它們的形狀相同，平移后能夠重合.根據這一性質，可以用平移的方法來研究這一類二次函數試題，揭示它們的命題背景.數學的幾何之美盡在其中.

關鍵詞：二次函數;平移;命題背景

我們知道，二次函數f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像與函數g(x)=ax2的圖像形狀相同，f(x)的圖像相當于函數g(x)=ax2的圖像經過平移得到.拋物線的開口大小由|a|決定，|a|越大，開口越小.

有一類考題，就是從這一點出發命制的.下面就二次函數圖像間的平移背景來研究幾個試題：

例1已知函數f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值.

1)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2；

2)當a,b滿足M(a,b)≤2時，求|a|+|b|的最大值.

(2015年浙江省數學高考理科試題第18題)

命題組提供的解答如下:

從而f(x)在[-1,1]上單調,因此

M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.

①當a≥2時,

f(1)-f(-1)=2a≥4,

得

max{f(1),-f(-1)}≥2,

即

M(a,b)≥2.

②當a≤-2時,

f(-1)-f(1)=-2a≥4,

得

max{f(-1),-f(1)}≥2,

即

M(a,b)≥2.

綜上所述,當|a|≥2時，M(a,b)≥2.

2)解由M(a,b)≤2得

|1+a+b|=|f(1)|≤2,

|1-a+b|=|f(-1)|≤2,

從而

|a+b|≤3,|a-b|≤3.

由

得

|a|+|b|≤3.

①當a=2,b=-1時,

|a|+|b|=3,

且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值為2;

②當a=-2,b=-1時,

|a|+|b|=3,

且|x2-2x-1|在[-1,1]上的最大值為2.

因此,|a|+|b|的最大值為3.

評注對學生來說，命題組提供的第2)小題的解答有些突兀,為何只考慮2端的情況，不考慮頂點？技巧性太強.要想讓學生聽懂,且印象深刻，就要從問題的本質入手.

經過討論，筆者決定利用二次函數圖像間的平移背景來講解此題.例1的平移背景分析如下：

1)如文章開頭所述，f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)的圖像與函數g(x)=x2的圖像形狀相同，f(x)的圖像相當于函數g(x)=x2的圖像經過平移得到.在對稱軸的右側，函數g(x)=x2遞增，遞增速度越來越快；在對稱軸的左側，函數g(x)=x2遞減，遞減速度越來越慢.當長度為2的區間[t,t+2]在g(x)=x2對稱軸的右側時，t≥0,從而

g(x)max-g(x)min=g(t+2)-g(t)=4t+4≥4.

當長度為2的區間[t,t+2]在g(x)=x2對稱軸的左側時，t≤-2,從而

g(x)max-g(x)min=g(t)-g(t+2)=-4t-4≥4,

但當g(x)=x2的對稱軸在(t,t+2)內時，-2

g(x)max-g(x)min=max{g(t),g(t+2)}-g(0)=

max{g(t),g(t+2)}<4.

2)固定區間[t,t+2]為[-1,1]，讓函數g(x)=x2平移成f(x)的圖像，由分析1)知道，當區間在f(x)對稱軸的右邊或左邊時，

f(x)max-f(x)min≥4，

因此，f(x)max≥2和f(x)min≤-2必有一個成立，否則f(x)max-f(x)min<4.這樣必有M(a,b)≥2.

3)由分析1)和分析2)知，當a,b滿足M(a,b)≤2時，f(x)的對稱軸在區間[-1,1]內，回到原始情形，先把函數g(x)=x2的圖像左右平移|t|個單位，再向下平移-k個單位，從而

y=(x-t)2+k(其中-1≤t≤1,-2≤k<0)，

即

y=x2-2tx+t2+k.

①當-1≤t≤0時,

f(x)max=f(1)=(1-t)2+k≤2，

即k≤2-(1-t)2對-1≤t≤0恒成立，于是k≤-2，又-2≤k<0，故k=-2.

②同理可得，當0≤t≤1時，

f(x)max=f(-1)=(-1-t)2+k≤2,

即k≤2-(1+t)2對0≤t≤1恒成立，于是k≤-2，又-2≤k<0，故k=-2,此時

y=(x-t)2-2(其中-1≤t≤1).

因此|a|+|b|=2|t|+|t2-2|=

-t2+2|t|+2=

-(|t|-1)2+3≤3,

當t=±1時，|a|+|b|取到最大值3.

評注例1還可用線性規劃的方法來解決(略).

1)當x∈(0,x1)時，證明：x

(2015年浙江省數學高考樣卷試題)

證明1)因為x1，x2是方程f(x)-x=0的根，所以

f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),

當x∈(0，x1)時，由于x10，從而

a(x-x1)(x-x2)>0，

于是

x

又x1-f(x)=x1-a(x-x1)(x-x2)-x=

(x1-x)[1+a(x-x2)]，

且

x1-x>0，

1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0,

從而

x1-f(x)>0,

于是

f(x)

綜上所述，x

又ax2<1，從而

評注例2證明的技巧性太強，如果直接講給學生聽，大多數學生印象不深.

筆者還是利用二次函數圖像間的平移背景來研究此題.例2的平移背景分析如下：

例3設函數f(x)=x2-ax+b，其中a,b∈R.

1)已知f(x)在區間(-∞,1)上單調遞減，求a的取值范圍；

2)存在實數a，使得當x∈[0,b]時，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此時a的值.

(2014年1月浙江省高中學業水平考試第34題)

例3的平移背景分析如下：

1)由例1知f(x)=x2-ax+b(其中a,b∈R)的圖像與函數g(x)=x2的圖像形狀相同，f(x)的圖像相當于函數g(x)=x2的圖像經過平移得到.在對稱軸右側，函數g(x)=x2遞增，增速越來越快，在對稱軸左側，函數g(x)=x2遞減，減速越來越慢.

2≤b≤6.

②先把函數g(x)=x2的圖像向上平移與直線y=2相切，再向右平移，使得當x∈[0,b]時，f(x)的圖像夾在直線y=2與y=6之間，且圖像恰好調整到經過動態點C時，b的值最大.解方程組

得

a=2,b=3.

評注命題組給出的方法較繁瑣，可用分離變量法解決第2)小題.

2)解由2≤f(x)≤6，知

2≤b=f(0)≤6,

由2≤x2-ax+b≤6得

x2+b-6≤ax≤x2+b-2.

當x=0時，上述不等式成立；當x∈(0,b]時，上述不等式可改寫為

即

亦即

b=t2+2,

上述方程可化為t3-2t2+5t-4≤0,

即

(t-1)(t2-t+4)≤0，

解得

t≤1,

故

2≤b≤3.

例4已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a≠0)，當0≤x≤1時，|f′(x)|≤1，試求a的最大值．

(2010年全國高中數學聯賽試題)

例4的平移背景分析如下：

1)f′(x)=3ax2+2bx+c的圖像與函數g(x)=3ax2的圖像形狀相同，f′(x)的圖像相當于函數g(x)=3ax2的圖像經過平移得到，|3a|越大，拋物線f(x)的開口越小.

或

此時

此時

解由f′(x)=3ax2+2bx+c得

課堂教學中要講透一道題，不僅要講方法，還要講內涵、講背景，這樣才能讓學生對這道題有全方位的認識.筆者從幾何運動的視角，揭示一類二次函數考題的平移背景.單墫教授在書中寫道：數學大花園里，幾何是最美的部分[1].

波利亞認為：中學數學教育的首要任務就是加強解題訓練，通過研究解題方法看到“處于發現過程中的數學”[2].奧蘇伯爾指出：如何組織教材，對學生的學習會產生重大影響[3].高三復習課可選擇高考前沿的考點，引導學生發現問題的本質.

2015年浙江省數學高考理科第18題(即例1)得分率不高，主要原因是：沒有用運動變化的觀點對圖像的平移背景進行研究總結.

參考文獻

[1]單墫.平面幾何中的小花[M].上海:華東師范大學出版社，2011.

[2]波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天,譯.上海:上海科技教育出版社,2007.

[3]奧蘇伯爾.教育心理學：認知觀[M]:北京：人民教育出版社,1968.

修訂日期：*收文日期：2016-02-29；2016-04-02

作者簡介：石秀福(1974-)，男，浙江杭州人,中學一級教師.研究方向：數學教育.

中圖分類號：O122.1

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-42-04