平面向量基本定理與高等數學的聯系及教學思考*

●張健　　朱哲

(浙江師范大學教師教育學院　浙江金華　321004)

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平面向量基本定理與高等數學的聯系及教學思考*

●張健朱哲

(浙江師范大學教師教育學院浙江金華321004)

摘要：平面向量基本定理與高等數學之間具有密切的聯系，在數學教學的過程中應該關注到這種聯系，滲透高觀點.文章主要討論了平面向量基本定理與高等代數和高等幾何的聯系，進而產生了一些教學思考.

關鍵詞：平面向量基本定理；高等數學；教學思考

人教A版《數學4(必修)》中專門編排了“平面向量的基本定理及坐標表示”這一內容供高中學生學習.平面向量基本定理是高中數學重要的內容，它基于平面向量的線性運算對平面內向量的構成進行探討，其中蘊含的“基底”思想體現了“化歸”的數學思想方法，它也是向量坐標表示的依據.另外，平面向量基本定理在處理平面幾何等問題中也具有非常強大的力量.

德國數學家克萊因在《高觀點下的初等數學》中認為教師應具備較高的數學觀點.理由是:觀點越高，事物越顯得簡單[1].在這一思想指導下，筆者試圖采用高觀點去尋找平面向量基本定理與高等數學的聯系，并由此引發一些教學思考，希望可以對中學數學教學產生一些有益的啟示.

1平面向量基本定理與高等數學的聯系

向量具有豐富的實際背景：幾何背景、物理背景等等，在實際應用中十分廣泛.平面向量是從實際背景抽象得到的數學對象，運算的引入使得平面向量具有強大的力量.平面向量基本定理刻畫的則是平面內向量的構成，它與高等數學具有密切的聯系，下面從高等代數和高等幾何2個角度來討論平面向量基本定理與高等數學之間的聯系.

1.1與高等代數的聯系

教科書中的平面向量基本定理表述如下：如果e1,e2是同一平面內的2個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有1對實數λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2稱為表示這一平面內所有向量的一組基底[2].從高等代數中線性空間的角度來看，這一定理實則是一種特例.

線性空間簡單地說就是一個具有某種代數結構的集合.給定一個數域P，設V是一個非空集合，在集合V中的元素之間定義“加法”運算，在集合V和數域P之間定義“數量乘法”運算，并且2種運算滿足一系列的規則，這樣V就稱為數域P上的線性空間[3].在線性空間中可以引入線性相關和線性無關的概念來刻畫元素之間的關系，還可以按照維數對線性空間進行分類.在有限維的線性空間中可以定義基的概念：在n維線性空間V中，n個線性無關的向量ε1，ε2，…，εn稱為一組基[3].從這個定義可以得到一個結論，它與我們的分析緊密相關，我們把它作為本文的定理1：

定理1對于n維線性空間V中任一向量α，α都可以被基ε1，ε2，…，εn線性表出，即α=a1ε1+a2ε2+…+anεn，并且系數a1，a2，…，an被向量α和基ε1,ε2,…,εn唯一確定[3].

我們將平面內所有向量構成的集合記為W，那么W按照向量的加法運算和向量的數乘運算構成一個R上的2維線性空間.在這樣的觀點下，平面內2個不共線的向量e1,e2是線性無關的，因此它們構成W的一組基.于是，平面向量基本定理就可以看成是定理1的推論，重新敘述如下：

推論1如果e1,e2是W的一組基，那么對于W中任一向量α，α都可以被基e1,e2線性表出，即α=a1e1+a2e2，并且系數a1，a2是唯一的.

將推論1與教科書中的平面向量基本定理進行對比就可以發現：推論1其實就是平面向量基本定理的實質.如果從更一般的角度去看，定理1才是平面向量基本定理的本質，而平面向量基本定理僅僅是定理1在非常特殊的條件下的推論.平面向量基本定理也可以視作是高等定理的一種“下放”，教科書對定理進行了一些“包裝”，使其更易于被學生理解.比如教科書中略去了集合、線性表出等概念，結合平面向量的幾何表示試圖從幾何直觀的角度理解平面向量基本定理的內容.

定理1中的系數a1，a2，…，an被稱為向量α在基ε1，ε2，…,εn下的坐標，這是抽象意義上的坐標概念.從這個角度來看，平面向量基本定理表達式中的系數λ1，λ2也可以被理解為向量α在基e1，e2下的“坐標”.因而，教科書中涉及到的“正交分解”和“坐標表示”實質是在上述2維線性空間W中選擇了一組特殊的基(標準正交基)，在這組基下對平面向量進行坐標表示.

1.2與高等幾何的聯系

平面向量本身具有豐富的幾何背景，平面向量基本定理在平面幾何當中也有許多運用，這引導我們從直觀的角度去尋找平面向量基本定理與高等數學的聯系.高等幾何中的仿射坐標系給我們提供了新的角度.

圖1　　　　　圖2

這說明了:平面向量基本定理表達式中的系數的幾何意義就是仿射坐標，相對于高等代數從抽象意義上的坐標概念來解釋其中的系數，這里的幾何意義更為具體、直觀.平面直角坐標系是一種特殊的仿射坐標系，從系數的幾何意義來看，教科書中的“平面向量的坐標表示”其實就是平面向量在特殊的仿射坐標系下的仿射坐標(“基底”的選取要對應起來).

教科書中有這么一段提示語：“同一平面可以有不同的基底，就像平面上可選取不同的坐標系一樣.”[2]現在，我們對這句話有了更加豐富的理解.

2平面向量基本定理的教學思考

平面向量基本定理與高等數學的聯系十分密切，在教學設計的過程中應該看到這些聯系，站在更高的觀點和更廣的視野去思考平面向量基本定理的教學，這將有助于加深對平面向量基本定理的理解并拓寬教學思路，在教學中滲透高觀點.

2.1平面向量的“分解”與“合成”

在教學過程中，我們可以從“分解”與“合成”這2個角度對平面向量基本定理進行解讀和反思，這可以幫助學生加深對這一定理的理解.教科書側重的是從“分解”的角度來解讀定理，如在探究定理的過程中指出“當e1,e2確定后，任意一個向量都可以由這2個向量量化，這為我們研究問題帶來極大的方便.”[2]平面內的向量被歸結為不共線的向量e1,e2，這體現了“化歸”的思想.根據平面向量基本定理，我們可以對平面內的任意一個向量進行分解.

例1如圖3，a和b是平面內2個向量，e1,e2和e3,e4是2組基底，通過作圖分解向量：

1)分別在2組基底e1,e2和e3,e4下分解a；

2)在基底e1,e2下分別分解向量a和b.

圖3

學生通過作圖操作對平面向量的分解進行體驗，為之后學習“平面向量的正交分解”作好鋪墊.我們還可以從“合成”的角度來啟發學生的思考.

例2e1,e2是平面內2個不共線的向量，對于任意實數λ1,λ2，按照λ1e1+λ2e2組合是否可以得到整個平面內的所有向量？用集合的語言描述就是集合{a|a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R}與{a|a是平面內的向量}是否相等？

這個問題可以引發學生對于平面內向量的構成進行更為深入的思考，進一步拓寬視野.

2.2平面向量基本定理與平面直角坐標系

平面向量基本定理表達式中的系數具有明確的幾何意義，即仿射坐標，這體現了平面向量基本定理與坐標系之間的聯系.在學習完平面向量的正交分解及坐標表示之后，從平面向量的角度去反思平面直角坐標系，可以加深對平面直角坐標系的理解.

圖4

這個例子說明了平面直角坐標系內點的坐標可以看成是由平面向量基本定理所確定，可以幫助學生更深入地認識平面直角坐標系.

2.3平面向量基本定理與平面向量共線的條件

教材中平面向量共線的條件b=λa可以看成是平面向量基本定理的一維情形.在學習完平面向量基本定理之后，可以引導學生借助平面向量基本定理去反思平面向量共線的條件.

例4在平面向量基本定理的表達式a=λ1e1+λ2e2中，如果將向量a限定在e1方向上，那么λ2=0.于是，式子a=λ1e1+λ2e2就變成a=λ1e1(其中e1≠0)，這即是平面向量共線的條件.

例5如圖5,如果a是直線上的一個非零向量，那么對于直線上的任意向量b，b與a共線.根據平面向量共線的條件，有且只有1個實數λ，使得b=λa，其中a可以看成是表示這一直線上所有向量的一個基底.

圖5　　　　　　圖6

這2個例子將平面向量基本定理與平面向量共線的條件聯系起來，使學生對平面向量共線的條件產生新的認識.更進一步，我們還可以將它們與數軸聯系起來，從而更深刻地認識數軸.

在教學過程中，將平面向量基本定理與平面直角坐標系、數軸、平面向量共線的條件等知識聯系在一起，可以讓學生經歷從新的角度去理解舊知識的學習過程，充分感受數學知識之間的聯系.

高中數學不僅僅要為學生提供扎實的數學知識和技能，還要為學生進入大學學習高等數學打下基礎.這要求教師要用更長遠的眼光來進行教學，在教學中不僅僅要重視知識的來源和產生過程，還要關注知識的發展和延伸，為今后進一步學習數學積累材料.平面向量基本定理體現的“基底”思想在高中數學學習過程中是第一次出現，在高中數學中具有重要的地位，而從長遠來看它則為高等數學的學習提供了初等的例子.因此，在教學該定理的過程中不僅僅要重視定理的探究過程，還要關注該定理與高等數學之間的聯系，啟發學生進行更深入地思考.

高中數學與高等數學之間具有密切的聯系，數學教師不應該僅僅停留在初等數學層次去進行教學，而應該用更高的觀點去看待高中的數學知識，善用高觀點把握和理解教材，從而在更加廣闊的視野中理解高中數學，并“居高臨下”地進行教學.

參考文獻

[1]吳大任.博洽內容獨特風格——介紹克萊因:高觀點下的初等數學[J].數學通報,1989(6):17-20.

[2]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究中心.普通高中課程標準實驗教科書《數學4(必修)》[M].北京:人民教育出版社,2007.

[3]王萼芳,石生明.高等代數[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[4]李宏基.斜坐標系之再探秘[J].上海中學數學,2009(11):33-35.

[5]梅向明,劉增賢,王匯淳,等.高等幾何[M].3版.北京：高等教育出版社,2008.

修訂日期：*收文日期：2016-03-14；2016-04-28

作者簡介：張健(1993-)，男，浙江溫州人，碩士研究生.研究方向：數學教育.

中圖分類號：O123.1

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-30-03