數學思想方法在高中數學解題中的應用

楊鎰濤 郝楠楠

【摘要】作為在高中階段學習的基礎課程，相比其他兩門語言類學科，數學要求學生在充分運用數學思維方法的基礎上解決相關習題.筆者根據自身在數學學習當中的切身體會，整理了一套有關利用數學思想解決高中數學中不同類型習題的思維方法，希望對大家的高中數學學習有所幫助.

【關鍵詞】數學思想 ；習題解答 ；高中；應用

為了提高自己的數學成績，筆者在對數學解題思路的探究過程中，整理出了一套數學思想解題方法，并實現了數學成績的穩固提升.本文將有關數學解題中需要運用的思維方法給大家進行一個簡單的整理，希望能給諸位在高中數學的學習提供一些有用的解題思路.

一、不等式在數學解題中的運用

不等式是這幾年高考的重點，對不等式解題思路的學習不僅可以解決集合、線性規劃、函數題目、取值范圍、最值等數學問題，還能夠為進一步為高等數學的學習奠定基礎.

1.利用不等式解決函數最值問題

在高考考查范圍內，求函數的最大值或最小值一直作為重點難點考查的.對函數的最值的求解方式也很多，在相當的一部分題目求解時采用不等式的方法，能夠開闊學生的解題思路：例如已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值.針對這種題目，大多數情況下會用函數的單調性原理進行解題，但如果我們應用均值不等式會發現解答起來既簡單又快速.

2.利用不等式解決參數取值問題

通常情況下在解題過程中我們很容易簡單的進行參數等價化簡，使得它獨自處在不等式的一邊，則在另一邊通常會化成含有變量 x 的關系式方程：（1）當a≥f（x）的恒成立問題，可等價于求f（x）的最大值，證明a≥f（x）max即可.（2）當a≤f（x）的恒成立問題，可等價于求f（x）的最小值，證明a≤f（x）max即可.

3.不等式在線性規劃中的解答思路

在線性規劃問題的解決中時最首先需要注意的就是可行域了，在對其的求解中可行域的畫出是其中的關鍵.

具體習題解析：已知f（x）=|x-2|-|x-5|，若關于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值.

解法一：有f（x）=|x-2|-|x-5|得，-3≤f（x）≤3.

∵f（x）max≥k，∴k≤3.

解法二：由幾何意義得：-3≤|x-2|-|x-5|≤3，∴k≤3.

二、分類討論思想高中數學中的解題的應用

分類討論的思想在高中數學的解題過程中應用非常廣泛，含參數的問題大致分為兩種類型：一類是根據參數的取值范圍，尋求命題有可能出現的結果，最終得出命題的結論；另一類是根據給定命題的相關結論，尋找參數的應滿足的具體條件或者相應的取值范圍.

1.分類原理

數學思想的具體分類原理，就是把一個集合A分成若干個非空真子集Ai（i=1，2，3，…，n）（n ≥ 2，n ∈ N+），具體的分類必須需要具備兩個要點：首先要確保對子集分類沒有遺漏，二是保證分類之間沒有重復，做到“不重不漏”.

2.分類標準

解題中在確立分類討論的對象后，以何種標準進行分類是采取這種方法解決數學問題的前提.在通常情況下，分類的標準主要有三個：概念、定理、解題需要.

例1 求函數y=│x+1│+│x-2│-2 的值域.

解 得出函數y=│x+1│+│x-2│-2的零點是 x=-1和x=2.

∴以 -1和 2 作為分類討論的標準，將定義域分為三類進行討論.

得出y=-2x-1 （x≤-1）

1（-1≤x≤2）2x-3

（x>2）

∴根據函數的圖像得出函數的值域為[1，+∞）.

三、對稱思想在高考數學中的應用

對稱問題占據著高中數學的重要一環，在新課標的公式推導、教材習題中占據著重要的位置.數學中的對稱形式主要有三種：中心對稱、軸對稱、平面對稱.在平面集合的解析中，題目中很容易出現完整的對稱結構，在對這類問題進行解決的過程中，利用對稱往往能產生意想不到的效果.

例2 求與圓C：（X+2）2+（X-6）2=1，關于直線3x-4y+5=0的對稱圓的方程：

解 設圓C的圓心（-2，6）關于直線3x-4y+5=0的對稱點為C′（a，b），

依題意 解得：a=4，b=-2. b-6a+2·34=-1，3·a-22-4b+62+5=0.

∴所求圓的圓心C′（4，-2），半徑為1，

∴圓C′的方程為（x-4）2+（y+2）2=1.

結束語

在解題過程中數學思路的掌握往往會使數學的學習變成一件富有趣味的事.筆者作為一名高中學生，得出的數學解題思路較為簡單，但還是希望對大家的學習有所幫助.

【參考文獻】

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[3]全玉剛.探究不等式在高中數學中的解題中的應用[J].中學教育.2015，（07）.