例談初中數(shù)學(xué)幾何綜合問題的解題方法

鄭波

摘 要： 初中數(shù)學(xué)中的幾何問題不僅是平時(shí)教學(xué)中的重點(diǎn)，而且是中考中必考的知識(shí)點(diǎn)，在中考中它往往以壓軸題出現(xiàn)，因此，在平時(shí)的教學(xué)中我們要關(guān)注這類題.本文從作者的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，結(jié)合具體的中考實(shí)例談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)幾何綜合問題的解題方法，其中主要包括從特殊到一般的解題方法和根據(jù)題干建立聯(lián)系的方法.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 幾何綜合題 解題方法 類型

幾何綜合題常常和運(yùn)動(dòng)問題結(jié)合起來，在題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，甚至是一個(gè)圖形，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，如平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱和運(yùn)動(dòng)過程中的面積變化關(guān)系等解決問題.在加入運(yùn)動(dòng)問題的同時(shí)，幾何綜合問題又可以大致分為兩類，一類是幾何綜合題，一類是代數(shù)和幾何型綜合題.這兩類題目不僅有各自的特點(diǎn)，還有一些共同點(diǎn)，下面筆者一一分析、闡述.

類型一：幾何綜合題

1.概念分析

幾何型綜合題是指以幾何知識(shí)為主或以幾何變換為主的一類綜合題，涉及知識(shí)主要包括幾何的定義、公理、定理及幾何變換等內(nèi)容.

2.解題策略

解決幾何型綜合題的關(guān)鍵是把代數(shù)知識(shí)與幾何圖形的性質(zhì)及計(jì)算與證明有機(jī)融合起來，進(jìn)行分析、推理，從而達(dá)到解決問題的目的.概括來講就是采用從特殊到一般的解題方法.

3.例題展示

（2015·湖州）已知在△ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)（與A，B不重合），點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（E不與C重合），連接DE交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn).

（1）初步嘗試

如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等.求證：HF=AH+CF.

小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：

思路一：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論成立；

思路二：過點(diǎn)E作EM⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結(jié)論成立.

請(qǐng)你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程.

（2）類比探究

（3）延伸拓展

4.例題分析

類型二：代數(shù)和幾何型綜合題

1.概念分析

代數(shù)和幾何型綜合題是指以代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)綜合運(yùn)用為主，包括坐標(biāo)系中的圖形變換等的一類綜合題，涉及知識(shí)以函數(shù)與圓、方程，函數(shù)與三角形、四邊形等相關(guān)知識(shí)為主.

2.解題策略

幾何圖形形象直觀，解題過程的可操作性強(qiáng)，因此解決這類題目時(shí)可以采用數(shù)形結(jié)合的思想.概括來講就是根據(jù)題干建立適當(dāng)聯(lián)系.

3.例題展示

（2015·衡陽）如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)O，A不重合），連接CP，過點(diǎn)P作PM⊥CP交AB于點(diǎn)D，且PM=CP，過點(diǎn)M作MN∥OA，交BO于點(diǎn)N，連接ND，BM，設(shè)OP=t.

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）試判斷線段MN的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變？并說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BNDM的面積最??？

結(jié)語

縱觀以上分析，我們發(fā)現(xiàn)要想掌握好幾何綜合性問題，不僅要將課本基本知識(shí)熟記于心，還要掌握一定的思想方法，比如：分類討論思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想等，在掌握這些內(nèi)容后，還要把握“運(yùn)動(dòng)”的要義，不管是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、線的運(yùn)動(dòng)、面的運(yùn)動(dòng)，都要熟悉，只有這樣才能在考試中取得好成績(jī).

參考文獻(xiàn)：

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[2]李長(zhǎng)軍，徐毅.解析幾何學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，08.

[3]張宏政.代數(shù)與幾何綜合問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（初中版，中考版），2009，06.