數形結合，高中數學教學的永恒途徑

康浩

[摘 要] 數形結合是數學教學的基本思路，結合具體的教學實例來激活學生數形結合的意識，并在數學問題的分析與解決中歸納出數形結合的思路，是高中數學教學的有效途徑. 從數學與生活關系來思考，數形結合則是數學服務于生活的重要認識.

[關鍵詞] 高中數學；數形結合；數學教學

數學是研究數與形的科學，數學教學的對象就是數與形.在高中數學教學的編排中，數與形既有區別又有聯系，而數形結合作為數學教學的優秀傳統，一直是高中數學教學的熱點. 從教學實際來看，高中數學教學常常容易受高考的影響，一個重要的表現就是數學教師在課堂上呈現給學生的數學問題，一般來講都是來自于最近兩三年的高考試卷，這樣的策略顯然具有實際意義. 而從培養學生數學思維的角度來看，事實上也存在一些經典試題，在這些試題身上所表現出來的價值，可以讓學生在解決過程中收獲數學素養. 數形結合就是其中之一！

數形結合有雙重理解：從數學知識的角度來看，數與形就是內容不同的兩種數學研究對象；而從學生的思維加工來看則有著更大的啟發意義：數是什么？數是對生活世界的抽象，最初的數是計數的產物，后來隨著數學的發展，數還成為數學公式加工的對象. 抽象是數的最大特征，高中數學教學中凡是涉及數的加工的，都是高度抽象的，自然也就是學生比較頭疼的；而形是什么，縱觀學生的數學學習過程，可以看出基礎數學學習過程中的形就是生活對象的簡單化處理，后來的形成為數學構造的產物，比如說函數的圖象等. 但顯而易見的是，在形的學習中如果暫不考慮數量關系，那學生的思維對象要直觀、形象得多，因而相對而言，對形的學習與研究也是學生更容易接納的范疇. 做出這樣的對比，是想對當前高中數學教學提出更有意義的思考，那就是高中數學教學過程中，如何實現有意義的數形結合，從而讓學生可以在形象與抽象的加工對象之間實現順利的轉換，最終實現數學的有效學習. 下面通過一則例子來說明.

一道“不起眼”的數學習題

在向量教學中，筆者給學生呈現了這樣的一道題目：若a=1，b=2，c=a+b且c⊥a，求a與b的夾角.

這道題目有其不起眼的地方，作為提供的兩個向量a和b，形式簡單、數字簡潔，而給出的第三個向量與原先兩個向量之間所存在的關系，則是一種大小與方向的關系，而這在向量問題當中這也再平常不過.因此要求原先給出的兩個向量的夾角，不過是已有數學知識的相對直接運用而已. 具體在解本題時，可以從純粹的向量計算角度給出這樣的求解思路：因為c⊥a，所以可知c和a兩向量相乘的結果必然是0，也就是說a和b兩向量之和與a向量的乘積也是0. 這樣就可以得出a和b兩個向量的乘積結果為-1，而這也就意味著a和b兩個向量的余弦值為-，從而可以得出夾角為120度.

但多年的教學經驗也讓筆者認識到，即使最為簡單的數學題背后，都是存在可發掘的價值的.這道向量試題因為簡單，實際上也就具有了相當的代表性，類似于c=a+b以及c=a-b等向量的計算，實際上都是建立在這種類型的題目的基礎之上的，因此，發掘這種代表性，應當成為培養學生在數學問題解決中發散性思維的重要教學思路. 更重要的是，在實際教學中，如果能夠讓學生有所生成，并且在學生生成的基礎上獲得新的認識，那源于本題的教學價值就彰顯得非常充分了.

一個很正常的解題直覺

在實際教學中，有三分之二左右的學生能夠如上面的解題思路一樣給出答案，這說明筆者起初的預設還是正確的. 在此基礎上，筆者思考如何將學生的思維進一步引向深入. 在這個時候，筆者注意到一個學生的解題可能存在著發掘價值.

這個學生是這樣想的：既然是向量題目，那就可以結合向量的定義來進行. 筆者追問他是什么意思的時候，他回答：對于向量的計算不應當拘泥于純粹的代數的運算，也可以從圖形的角度來考慮，因為向量原本就應當是圖形，向量就是有向線段.

這樣的回答在課堂上引起了熱烈的討論，相當一部分學生的思維都從數開始向形進行轉換. 而在筆者看來，這個學生（數學基礎中游的一個學生）的思維其實也很符合數學學習的直覺，因為這一類學生在數學學習中，形象思維往往總能夠在關鍵時刻發揮作用，尤其是抽象思維能力相對較弱的學生而言，認知的特點決定了他們往往會在問題解決中選擇形象思維. 而這意味著數與形之間的轉換，可以成為數學教學的重頭戲，而數形結合則可以成為數學教學的更高指向.

結合本題，如果將問題解決的思路由數轉向形，那具體可以如何求解呢？分析原題可知，如果已經知道了向量a和b的大小以及c與a的關系，那么就可以借助于圖形來構建這樣的關系，而這一點對于學生來說并不是一件難事，因為建立在向量概念基礎之上的關于向量大小與方向關系，對于學生來說通過作圖來表示，還是比較簡單的. 而有了這樣的思路，學生就可以通過圖形來表征原題所給出的信息，這樣就實現了由數向形的轉換.

事實上筆者在課堂上還做了一個工作，那就是對提出這一思路的學生大加贊揚，強調其思維在由數向形的轉換過程中，表現出很好的數形結合思想. 對于這位學生來說，這樣的表揚是激勵性的，而對于其他學生來說，這樣的表揚則是引導性的，可以從點與面兩個角度對數形結合的思想予以強調.

一步有價值的解題延伸

在進行了上述挖掘之后，筆者在教學中做出了適當的調整，對于原來準備的另一個關于向量計算的題目進行了適當的改編. 原題是這樣的：已知非零向量a，b，則a=b=a-b=2，則a+b=________，a+b與b夾角為________.

在學生有了上述數形結合的思路之后，筆者提高了解題要求：不只是求出結果，而是分別用數與形兩種思路來進行求解.

這樣的要求引發了部分學生的異議，他們認為只要能夠求出結果就行了，不需要用兩種方法，更有部分基礎較好的學生認為自己能夠一下子選出最好的方法，就沒有必要再用繁雜的方法了. 針對這些想法，筆者力排眾議，明確要求不僅需要兩種方法，還要那些基礎較好的學生去比較兩種方法，并發現兩者之間的優缺點.

由于要求的提高，因此不同層次的學生都有了自己不同的任務. 這樣的任務驅動加上分層教學的思想，使得全體學生都能夠在較長時間內沉浸在本題的解決過程當中. 事實上，無論是數的思路，還是形的方法，本題的解決都不算特別困難，絕大多數學生都能在預定時間內給出兩種方法. 但筆者需要的是在此基礎上對兩種方法的對比，這樣的教學要求實際上是為了學生在數形結合的過程中多一份理性思考，即不僅知道有兩種方法的存在，還需要知道兩種方法的不同. 而當學生在比較的過程進行討論合作之后，他們也確實發現了：在向量問題的解決過程中，數的思路需要較強的邏輯思維能力，一旦有了這樣的能力支撐，那解題過程就比較簡潔，邏輯性也強；而用形的思路去解題，實際上既需要將原題由數轉換成形，也離不開數的運算，只不過運算起來沒那么復雜而已.

說這樣的教學設計存在價值，還是因為在此比較的過程中，學生可以收獲更為高級的數學學習認識. 學生為什么感覺基于圖形時計算就沒有那么復雜，那是因為學生此時的思維對象有形象的圖像支撐，而數學基礎好的為什么有時又不需要這樣的過程，那是因為他們的邏輯思維強，思維時能夠以抽象的數以及數的運算法則為對象. 這就是思維能力不同的高中學生在數學學習過程中的不同表現，也提醒我們，即使是最簡單的數學題目，即使是同樣都得到了正確的結果，但學生的思維仍然是不同的，而因材施教也就有了存在的必要.

一節需進一步總結的課

從本課的教學來看，本課的預設與生成其實都是圍繞一個主題來進行的，那就是向量問題解決中的數形結合. 而事實上高中數學的學習中，數形結合本來就是常態，但為什么很多時候學生的思維中往往只有數而沒有形，或者只有形而沒有數呢？這可能與學生的學習方式有關，也與教師的教學方式有關.

數形結合原本是重要的數學思想，基于形而去理解數（包括數的運算規則），基于數而去構建形，應當成為數學學習的一種良好直覺. 如果需要進一步總結，筆者以為關鍵有三：一是數形結合的依托是什么；二是數形結合意識的培養；三是數形結合思想的建立. 對于第一、二兩個問題，筆者以為答案在于數學問題解決，因為這是一個綜合性最強、指向性最強的教學過程，可以有效激活學生數形結合的意識；而對于第三個問題，筆者以為則需要引導學生對數形結合類的數學問題進行歸類，并從中概括出基本的分析思路與數形結合辦法. 事實上，數形結合不僅是數學的，更是生活的，在生活中很多時候都是在形的思維基礎上去進行數的思考. 基于數學與生活聯系的思考，數形結合也應當在高中數學教學中獲得更廣泛的存在.