小議解析幾何教學中小題的深入性思考

姜華

[摘 要] 解析幾何是高考數學的難點和重點，其小題往往對于學生思維和運算兩方面進行了考查，本文從近年來的一些常見小題出發，談談小題復習的一些深入性思考.

[關鍵詞] 解析幾何；小題；定義；平面幾何；運算

解析幾何是高考數學的重點和難點，也是整個中學數學中地位非常重要的章節. 從近年來解析幾何考查的比重來看，其在高考中一般占據20～25分的程度，而且難度一般較大，大部分學生對于解析幾何的得分率普遍較低. 從解析幾何的內容來看，其涉及的橢圓、雙曲線往往運算量較大，運算能力較差的學生基本難以在解答題中取分，從概念性質來說，橢圓、雙曲線、拋物線定義的運用，以及愈來愈多平面幾何性質的結合使用，往往使得學生在問題解決中摸不著頭腦，因此筆者結合近年來考題方向和特點，談一談解析幾何小題在教學中應該處理的“三重境界”，層層遞進式的解決問題.

境界一——解析幾何定義的使用

？搖？搖解析幾何的定義在中學數學階段主要是兩種，其一是感官定義，教材利用了繩子固定端點的拉動形成的橢圓以及拉鏈拉動形成的雙曲線，在學生腦海中形成重要的第一印象，其二是第二定義（現階段考查相對較少）. 在高考解析幾何小題中，對定義的考查比比皆是，來看例題：

問題1 （改編自2013年浙江理）：如圖1，F1，F2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是_____________.

分析：筆者建議有興趣的讀者試一試本題，本題從定義的兩次運用出發，后續研究中位線、等腰直角三角形和余弦定理的使用，是一道將平面幾何性質使用較多的綜合性解析幾何小題. 對于這樣問題的處理，我們發現有助于學生理清問題解決的層次性：即首先運用定義思考問題，進一步運用平面幾何相關性質來處理離心率.

總之，從近年高考真題的分析來看，筆者以為解析幾何小題的破解恰在于上述三個層次的合理運用，純粹對于定義的使用往往是針對簡單問題的考查，對于運算的處理和一定技能的運用往往在于稍難問題的區分，運用定義和平面幾何性質的相關使用結合是對于思維考查較高的一種體現. 筆者想起了詩人王國維在講人生三境界的時候，其一“望盡天涯路”，暗指人生目標；其二“為伊消得人憔悴”，暗指奮斗不止；其三“驀然回首，卻在燈火闌珊處”，暗指反思即能豁然開朗. 因此，在研究高考解析幾何小題指引復習教學時，也可以思考這樣的三重境界，層層深入.筆者認為解析幾何小題的解決恰是三種境界的體現：

（1）類型1體現的恰是一種“望盡天涯路”的境界——解決問題的方向是使用橢圓和雙曲線的定義，這也是解決解析幾何小題的常規思考方向；

（2）類型2體現的是解析幾何小題“為伊消得人憔悴”的境界——在無法使用定義，只能通過坐標的運算方式來解決問題，筆者個人覺得這樣的考題區分度、難度稍大；

（3）類型3在解決離心率中，很自然地回避了通過大量運算來解決的方式，從雙曲線定義考慮，結合三角形的相關知識（諸如余弦定理、中位線、三角形四心等等）即輕松解決，這體現了問題解決的第三重境界“驀然回首”，問題還得倚靠定義來，進一步結合平面幾何中的相關知識即可.