例談玀ATLAB在復變函數學習中的應用

龔桂瓊　趙蕾　王文雅　趙小容　孟紅靜　呂凱軍

[摘要]復變函數具有高度的抽象性、不易理解，而MATLAB軟件在計算和繪畫方面具有很大的優勢。因此，本文利用MATLAB軟件對復變函數中一些重點和難點進行處理，以實例的形式介紹MATLAB軟件在復變函數中的應用。

[關鍵詞]復變函數；傅里葉變換；Taylor展式；留數

[基金項目]西藏自治區大學生創新訓練項目（2014QCX020），西藏大學珠峰學者人才發展支持計劃青年骨干教師計劃。

一、引 言

復變函數是數學分析的繼承和發展，是數學學習的基礎和重點課程，但由于其自身的特點，在實際學習中，許多的同學認為此門課程抽象、枯燥、不易理解。MATLAB是一種具有強大數值計算、分析和圖形處理功能的軟件，其應用領域非常廣泛，并且使用方便、代碼少、效率高。本文把復變函數的學習和MATLAB結合起來，以具體實例的形式介紹了MATLAB軟件在復變函數中的應用。

二、MATLAB在復變函數學習中的應用實例

1。復變函數中的基本計算

利用MATLAB軟件可以非常簡單的求解復變函數中的基本運算，如復變函數的函數值、函數值的實部和虛部、輔角、模和共軛函數等。比起傳統的手工運算更方便、快捷。

例1 求函數z=2*sin（4-3*i）的函數值、函數值的實部和虛部、輔角、模與共軛函數。

MATLAB語句如下：

>>z=2*sin（4-3*i）z=-15。2385 +13。0962i

>>z1=real（z）z1=-15。2385

>>z2=imag（z）z2=13。0962

>>z3=abs（z）z3=20。0928

>>z4=angle（z）z4=2。4317

>>conj（z）ans=-15。2385-13。0962i

>>z3=abs（z）z3=20。0928

>>z4=angle（z）z4=2。4317

2。求解復變函數的導數

解析函數是復變函數研究的主要對象，因此討論函數的可微性和解析性是復變函數的重點內容之一。同樣，利用MATLAB軟件也可以求解復變函數的導數。

例2 試求函數f（z）=ez/sinz在z=4*i處的到數值。

MATLAB語句如下：

syms z

>>f=exp（z）/sin（z）；

>>df=diff（f，z）；

>>vdf=subs（df，z，4*i）

vdf=-0。0517-0。0038i

3。求解復變函數的積分

復積分的值與被積函數和積分曲線均有關系，從而加大了求解復積分的難度，但是利用MATLAB軟件可以容易地求解其結果。

例3 求解積分∫c（3*z^2-2*z+5）dz，其中c為|z|=2 。

MATLAB語句如下：

>>syms t z

>>z=2*cos（t）+i*2*sin（t）；

>>f=3*z^2-2*z+5；

>>inc=int（f*diff（z），t，0，2*pi）inc=0

4。求方程的根

復數域上的任何一元N次方程，均有N個根。利用MATLAB軟件同樣可以求解。

例4 求方程z^2+2*z+8=0的根。

MATLAB語句如下：

>>syms z

>>solve（z^2+2*z+8，z）

ans=

-7^（1/2）*i-1

7^（1/2）*i – 1

5。留數的計算

留數理論及其應用對復變函數論的發展起到一定的推動作用，因此學好留數至關重要，但某些復變函數的留數并不容易計算，所以，我們借助MATLAB軟件來求解，既簡單，又快捷，而且又準確。

例5 計算函數f（z）=（z^2-4*z+3）/（z^3+2*z^2+z）的極點和留數。

MATLAB語句如下：

>>a=[1-4 3]；

>>b=[1 2 1 0]；

>>[r，p]=residue（a，b）

r=-2

-8

3

6。有理函數的部分展開式

復變函數的又一重要知識點之一，有理函數的部分分式展開式，可以直接利用MATLAB語言中的residue求解。

例6 求函數f（z）=（-2*z+6）/（z^3+z）的部分分式展開式。

MATLAB語句如下：

>>m=[-2，6]；

>>n=[1 0 1 0]；

>>[r，p，k]=residue（m，n）；

>>[m，n1]=rat（r）；

>>[m，n1，p]

ans=

-3。0000 + 1。0000i 1。0000 0 + 1。0000i

-3。0000-1。0000i 1。0000 0-1。0000i

6。0000 1。0000 0

>>p=

-1

-1

7。復變函數的Taylor展開式

級數在復變函數中也占有重要的地位，對于求解一些級數的Taylor展開式，工作量巨大，所以我們可以利用MATLAB軟件來求解。

例7 設函數f（z）=sin（z+2）+cos（z-2）在z=3處的前六項Taylor展式。

MATLAB語句如下：

>>syms z

>>f=sin（z+2）+cos（z-2）；

>>F=taylor（f，6，z，3）

F=cos（1）+sin（5）-（z-3）2*（cos（1）/2+sin（5）/2）-（z-3）3*（cos（5）/6-sin（1）/6）+（z-3）4*（cos（1）/24+sin（5）/24）+（z-3）5*（cos（5）/120-sin（1）/120）+（cos（5）-sin（1））*（z-3）

8。傅里葉變換及其逆變換

傅里葉變換及其逆變換是復變函數的又一重要內容，但其變換過程很復雜，不易求解。因此，利用MATLAB軟件來求解。

例8 已知f（t）=exp（-t）*cos（2*t），求f（t）的Fourier變換，并對結果進行逆變換。

MATLAB語句如下：

>>syms t w

>>f=exp（-t）*cos（2*t）；

>>F=fourier（f）

F=

transform：：fourier（cos（t）^2/exp（t），t，-w）-transform：：fourier（exp（-t）*sin（t）^2，t，-w）

>>f=ifourier（F，w，t）

f=（（2*pi*cos（-t）2）/exp（t）-（2*pi*sin（-t）2）/exp（t））/（2*pi）

9。Laplace變換及其逆變換

在MATLAB語言中可以使用Laplace函數來實現Laplace變換

例9 設函數f（t）=2*e-t*cost+Π2，求其Laplace變換，并對結果進行Laplace逆變換。

MATLAB語句如下：

>>syms t s

>>f=2*exp（-t）*cost+pi/2；

>>F=laplace（f，t，s）

F=-2/（（s+1）2+1）

>>f=ilaplace（F，s，t）

f=-2*sin（t）/exp（t）

10。MATLAB繪圖功能在復變函數學習中的應用

在復變函數的學習中，復變函數圖形的繪制常常是繁雜的，僅憑手工很難繪制出來。而MATLAB軟件在繪圖方面具有很大的優勢。因此，借助MATLAB軟件的繪圖功能，可以快捷、準確的畫出復變函數的圖形，使復變函數的學習變得形象、生動，有利于學生從圖形獲得相應的性質。

例10 繪制函數f（z）=3*z^2的圖形。

>>z=cplxgrid（30）；

>>w=3*z。^4+z；

>>surf（real（z），imag（z），real（w），imag（w））；

>>title（′f（z）=3*z^2′）

三、結 語

本文通過以上的十個實例，充分展示了MATLAB在求解復變函數的相關問題中，具有規范、簡潔、靈活的特點，充分體現了MATLAB的實用價值，同時也培養學生運用MATLAB語言編程的能力，對同學們學習后繼的數學課程以及在工作中使用數學軟件都大有裨益。

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河南機電高等專科學校學報。2011（9）。

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