從一堂教改實踐課談學生數學思維的培養*

●洪　瓊　(天臺中學　浙江天臺　317200)

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從一堂教改實踐課談學生數學思維的培養*

●洪瓊(天臺中學浙江天臺317200)

摘要:數學教學的主要目的是發展學生的數學思維能力．課堂教學的有效性體現在對教學內容的把握和課堂氛圍的營造上．發現學生的思維關節點、恰當的策略指導和優化解題教學是有效發展學生數學思維的幾個關鍵點．

關鍵詞:數學思維;思維關節點;策略指導;解題教學

筆者參加浙江省高中數學名師培養工程第2次活動時，在金華市外國語學校觀摩了一堂教改實踐課“導數在構造函數中的應用”．進入聽課教室，筆者就發現課桌不是傳統的一人一桌，學生座位的安排也不是傳統的“秧田”式整齊排列，而是5個人為一個學習小組圍坐在長方形大桌子旁，學生抬頭可以直面黑板．筆者針對聽課內容談自己的一些體會，供大家參考．

1　案例回顧

1．1課前準備

教師印發學生導學案，學案內容包含學習目標和3個例題．課前，教師要求學生初步完成學案．

學習目標:理解函數的零點、方程的根、2個函數圖像交點這3者之間的關系;熟練運用導數分析圖像的單調性、曲線相切問題等;理解函數構造中的常見策略，學會多角度分析問題．

例1已知m∈R，討論關于x的方程x3－3x－m=0的根的個數(嘗試多種方法并進行方法小結)．

1．2師生互動

教師針對例1，向學生征集解決方案．

生1:構造函數f(x)=x3－3x－m，研究函數f(x)的零點(記為方法1)．

(學生分析思路，教師按學生思路板書．當學生通過求導確定函數的單調區間后，教師畫出函數的簡圖．學生對含參數m的極大值、極小值與0的關系進行討論，得出答案．)

師:把方程的根轉化為函數的零點．

生2:轉化成x3－3x=m，研究函數f(x)=x3－3x和函數y=m的交點個數(記為方法2)．

師:為什么要把m移到等式右側?比起第1種方法有優勢嗎?

生2:生1構造的一元三次函數含有m，函數不確定，需要對函數進行討論．把m分離之后，等式左側的函數是確定的一元三次函數．而y=m的圖像是平行于x軸的直線，比較容易觀察．

師:第1種方法和第2種方法有什么共同點?

生2:都是研究一元三次函數的圖像和直線的交點．

師:沒錯，都是把方程的根轉化為2個函數圖像的交點．在第1種方法中，函數零點可以理解為函數y=f(x)與函數y=0圖像的交點．

生3:方程可轉化為x3=3x+m，研究函數f(x)=x3和函數g(x)=3x+m的交點個數，只需找出直線與一元三次函數圖像相切的情況即可(記為方法3)．

(學生上臺板演，寫出解題過程．學生講解比較快，思維跳躍性強，因此教師通過幾何畫板演示函數g(x)=3x+m當m變化時圖像變化過程，彌補學生講解時的不完整．該方法講完后，整個教室陷入了靜寂．)

師:前面3種方法都是轉化為一元三次函數的圖像問題，有沒有其他方法?能不能轉化成其他熟悉的初等函數形式?

(教師提醒學生要注意當x=0時的討論．學生上臺板演，對m進行討論，畫出簡圖(如圖1所示)，但是在研究二次函數曲線和反比例函數圖像曲線相切的時候遇到了困難．教師協助其求出2條曲線相切時m的值．)

師:當m＞0時，設2條曲線相切的公共切點為M(x0，y0)，則2條曲線在該切點處的切線斜率相等．易知f'(x)=2x，，由

圖1

解得x0=－1，m=2．

當m＜0時，同理可解得x0=1，m=－2．

當m變化時，用幾何畫板演示圖像變化情況．

師(點評):以上解題方法都是通過將方程轉化為不同形式，等式2側可記作不同函數，研究函數圖像的交點個數．等式2側可配比成各種各樣的函數形式，理論上都可行，但是盡量選擇我們熟悉的函數形式．

在解決完例1后，教師讓學生小組合作討論例2的解決方案，審視原來的解題方案并進一步完善，以小組為單位展示成果．

1．3生生合作

學生按教師事先分好的學習小組進行討論，討論過程中可看見合作小組的學生在相互交換自己的學案、演算和討論．

1．4學生展示

每個學習小組派一位代表上臺用幻燈片展示自己的學案，并進行講解．

(學生展示詳細解答過程，思維清晰，運算準確，語言幽默，其他學生鼓掌表示肯定．)

師:與例1的方法4一致．

小組2:將原方程轉化為

研究函數f(x)=2x3－2mx+1(其中x≠0)與x軸的交點個數．

(學生展示詳細解答過程．)

師:考慮問題非常周到，注意到了轉化的等價性，即當x≠0時研究函數f(x)的導數，對m的討論很完整．

(其他學生鼓掌表示肯定．)

小組3:把原方程轉化為

師:為什么要這樣轉化?f(x)是什么函數，大家熟悉嗎?圖像是什么形狀?

生6(在幻燈片上作圖講解):參數分離后，函數f(x)是確定的函數．可以通過研究函數的導數來研究函數f(x)的簡圖(如圖2所示)．易知

圖2

師:對于x≠0這個“斷點”的考慮非常細致，運用了極限思想來判斷圖像的趨勢．

小組4(作圖板演):將原方程轉化為

研究函數f(x)=x3和的交點個數．

2　課堂效果

本節課安排在函數與導數學習之后，設計的例題思維入口寬、切入點多，有利于學生的思維發散和一題多解．課堂中教師是一個真正的組織者，采用的方式就是組織學生小組合作交流．學生是課堂的主人，自主學習、自主探究并充分表達自己的見解．教學的重點是函數與方程思想、轉化與化歸思想的運用．教師鼓勵學生呈現不同的思維過程，學生在表達自己想法的過程中去偽存真、完善自我、開拓思維．學生的思辨能力、表達能力都非常強，落落大方，到講臺板演講解都十分自然．課堂氣氛是寬松愉悅的，尤其是到講臺講解的幾個學生，非常幽默，逗得其他學生大笑．從這些都可以看出，這樣的教改實踐課不是第一次，而是經過一段時間的積累和鍛煉，學生十分適應而且各方面素質都得到了較大的提高．

3　關于教改實踐課的幾點思考

美國教育大師杜威曾說過“學習就是要學會思維”、“教育在理智方面的任務是形成清醒的、細心的、透徹的思維習慣”．數學是思維的科學，因此數學教學更應該在發展學生思維上承擔更大的責任．因此，從宏觀上說，數學教學的目的是發展學生思維，優化數學品質，培養數學核心素養．結合案例，筆者談談以下4點思考:

3．1創設研究性、開放性、自主性的課堂氛圍

目前高中數學課堂教學非常注重效率，盡管課堂教學中學生的主體性有所加強，但總體來說仍然是灌輸式的．教師對課堂充分預設，內容滿滿當當，學生缺乏學習興趣，學得累．只有富有研究性、開放性、自主性的課堂教學才能更好地促進學生在情感、態度、習慣、思維能力等方面更好地發展．只有通過加強學生自身對學習的體驗，使學生從大量繁雜、重復的技能訓練中解放出來，才能讓學生有更多精力投入到探索性的數學活動中去，才能更好地促進思維發展、技能運用［1］．筆者在課后與上課師生交流，他們對這種上課方式習以為常．在談及教學內容完成的量時，教師提到設計例題時就已經考慮到有可能來不及，因為無法預料學生的想法以及學生表達的時間．在考慮“例題的量”與“學生表達的質”的選擇時，毫無疑問要選后者．因為學生表達的過程就是思維展現的過程，也是自我修正的過程．在教改實踐課中，我們應該把創設開放性的問題和引導學生清晰表達自己的思維過程作為課堂教學的目標之一．

3．2尋找和利用思維的關節點

人的身體有許多關節點和穴位，思維也一樣．數學教學應該尋找、抓住并利用好思維的關節點．教師如果不知思維的關節點所在，平均用力，眉毛胡子一把抓，那么學生只能停留在機械模仿的水平上［1］．這種教學的有效性取決于教師的功力．在本堂課中，教師在多個地方設置了精巧的問題，打通了學生的思維關節點．例如，在例1中提出2個問題:方法2與方法1相比有什么優勢?2種方法的共同點在哪里?不僅讓學生悟出問題的本質都是通過轉化變成一元三次函數和直線的交點問題，也讓學生明白參數分離的作用是讓一元三次函數成為確定的函數．但遺憾的是，在方法3中，教師沒有抓住思維的關節點，方法3的本質也是一元三次函數與直線的交點問題，但是最重要的區別是方法1和方法2中的直線都是平行于x軸，直線相切時的切點在極值處．而方法3需要求切點不明確情況下曲線的切線．如果教師能在方法3結束后設置幾個問題突出思維關節點，效果會更好．另外，在小組3呈現的例2的解決方法中，學生構造的x2并不是我們所熟悉的初等函數模型，利用導數來研究陌生函數的圖像也是一個思維關節點所在，教師對于“斷點”的點評非常到位，能有效優化和促進學生思維的發展．當然，教師在與學生對話的過程中，缺乏一些正中要害的問題，比如“為什么要選擇這樣的轉化方式?你嘗試過其他方式嗎?”這才是思維的“穴位”所在．通過提問的方式促進學生思考比教師直接點評總結效果會更好．

3．3加強策略指導

教師的核心職責是保障學生的學習權，提升學生以思維力為核心的自主學習力．教師要基于學生現有思維水平與學習習慣，通過思維策略指導，有效突破思維的難點和障礙，使得探究的問題在學生的最近發展區內．在例1的綜合點評中，提到方程轉化的最終目的是構造等式2側不同的函數形式，在構造過程中要盡量尋找熟悉的初等函數模型．這是整堂課的思維關鍵點所在，也是解決這類問題的基本策略．例1的方法4中，學生研究二次函數曲線和反比例函數圖像曲線相切的時候遇到困難，教師就直接給出解答方法．很遺憾教師沒有把握住這個思維的關節點．學生思維的障礙點在于2條曲線相切問題．教師完全可以引導學生將2條曲線相切理解成2條曲線同時相切于某1條直線并有公共的切點，轉化成學生最近發展區內的直線與曲線相切問題．

3．4優化解題教學

學數學離不開訓練，離不開解題，但訓練的目的和側重點是解題的技能技巧還是解決問題的思維方法，這是一個重大的原則性問題．重在訓練技能技巧可能會禁錮學生的思維，而重在思維訓練可以促進思維更好地發展．這堂課在教學內容的選擇和教學方法上都是圍繞著促進學生思維的發展．一題多解的例題讓學生的思維更有變通性．利用一題多解可以構建新知識的最近發展區，尋找知識的生長點，激發學生探究問題，不斷從一類問題轉化為另一類問題，讓學生在探究中感悟轉化與化歸思想的妙處，建構知識網絡．而這堂課的精彩之處就在于所有的問題解答都來自于學生的表達，完整展現了學生思維的特點和缺陷．遺憾之處就在于例2學生所呈現的方法都是例1方法的類比，沒有學生嘗試其他方法．

數學教學要時刻關注學生的思維過程，教師要準確把握知識與例題所蘊含的數學思想方法和思維方法，準確把握學生的思維起點與難點，設置合理的問題和巧妙的點撥，才能有效發展學生思維．

參考文獻

［1］李昌官．尋找數學內在的力量［M］．寧波:寧波出版社，2014．

作者簡介:洪瓊(1982－)，女，浙江臺州人，中學高級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-11-03;2015-11-16．

中圖分類號:O12

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-21-04