高中數(shù)學弧度概念教學再探究

徐遠志

摘 要：高中數(shù)學教學中，概念的教學具有基礎性，這種基礎性不應當因為其只是基礎而忽視教學過程，而應當從學生構建數(shù)學概念的角度，發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生的數(shù)學認識. 尤其是對于像弧度這樣的概念教學而言，要促進學生對引入概念必要性與合理的理解，通過比較與運用，促進學生應用概念的直覺. 調(diào)查表明，學生對弧度概念的學習存在著認識上的不足，這種不足又由于教師忽視必要過程引起的. 充實、完善、精設概念教學的情境，對于提高包括弧度在內(nèi)的數(shù)學概念的教學，具有極為重要的意義.

關鍵詞：高中數(shù)學；概念教學；弧度；探究

從知識邏輯的角度來看，概念是規(guī)律建立的基礎. 在高中數(shù)學教學中，大部分概念都是建立在義務教育階段的數(shù)學學習基礎之上的，也正因為九年義務教育的積累，學生在高中數(shù)學學習過程中才能熟練地利用各個數(shù)學概念進行新的數(shù)學概念的構建. 但其中也存在一些特殊的概念，這些概念與原來所學的概念看似有聯(lián)系，但學生往往又尋找不到這種聯(lián)系. 對于這樣的概念而言，如果在教學中不給予高度重視，那學生在理解這些概念的時候很可能就是煮夾生飯，其對于這一概念的理解而言自然沒有好處，對于建立在這些概念之上的其他數(shù)學知識的學習與理解，也會存在長時間的隱性障礙. 因此，對于這些概念，在實際教學中必須高度重視，要引導學生知其然也知其所以然. 筆者以為，弧度就是這樣的一個概念.

弧度學習的真實情況掃描

弧度這一概念的學習情形到底怎樣？這個問題的回答憑教師猜想是不太可靠的，最可靠的答案應當在學生那里.

根據(jù)筆者近三年來對正在教的學生，與已經(jīng)畢業(yè)后的學生進行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，其實相當一部分學生對為什么要引入弧度表現(xiàn)出很大的困惑. 具體來說有三種情況：一是部分學生想不通為什么要引入弧度，在他們看來，用角度來表示角是最自然、最簡潔的方法，舍易而取難是沒有道理的. 用他們中部分學生的話來說，總不能因為要學三角函數(shù)所以才要學弧度吧. 二是部分學生認為弧度制與角度制完全是兩回事，用角度來表示角，很形象，是用有理數(shù)來表示，而用弧度來表示角的時候，就有了圓周率π，這是一個無理數(shù)，角度怎么會與它有關系呢？三是一部分學生（主要是畢業(yè)后的學生，部分數(shù)學基礎較好，對高中數(shù)學知識還有一定的印象）認為弧度制在學習一段時間之后，感覺其確實有角度制所無法替代的地方，但在新學的時候確實感覺到突兀，很長時間里都是一個陰影.

根據(jù)學生的這些反映，筆者以為高中數(shù)學教學中，對于弧度這一概念，不能簡單地照搬教材上的安排，而應當引導學生從弧度制引入的必要性角度來認識其重要性，這樣才能在弧度這一概念的起始教學中不至于埋下太多的“隱患”.

為什么在數(shù)學中要引入弧度

為什么要引入弧度？這個問題對于高中數(shù)學教師來說可能不是一個問題，一部分教師會認為教材中既然有這樣的安排（筆者所使用的蘇教版數(shù)學必修四中，弧度概念出現(xiàn)在第一章“三角函數(shù)”的第一節(jié)），自然是要教的；也有一部分教師認為，學生應該會自然地理解教師所教的弧度，不需要給出特別的注意.事實是不是這樣呢？

根據(jù)筆者的教學經(jīng)驗，數(shù)學概念對于學生而言的真正的基礎性作用的理解，在于學生能夠在不對概念本身有任何懷疑的情況下，理解概念本身，并在概念的基礎上去建立新的數(shù)學知識. 譬如弧度，蘇教版教材中是怎么安排的呢？是給出一段說明（具體略），然后問出一個問題：720°角是怎樣的一個角？接著介紹“任意角”，并給出正、負角和零角的定義，經(jīng)由對任意角的一課時左右的學習之后，才給出“弧度制”的概念，其引入是借助于角度制與弧度制的簡單比較來進行的，定義1弧度為“長度等于半徑的圓弧對應的圓心角”，定義弧度制為“用弧度作為角的單位來度量角的單位制”. 這樣的安排，體現(xiàn)了教材編寫者基于角度制建立弧度的意圖，但從數(shù)學知識發(fā)生的角度來看，仍然顯得比較簡單.

翻開相關資料可以發(fā)現(xiàn)，弧度制在數(shù)學史上的引入比較復雜，而引入這段數(shù)學史對于學生來說可能也有著重要的意義. 數(shù)學史上，弧度制顯然是在如何描述角的問題驅(qū)動之下形成的. 描述角的方法其實很多，角度制與弧度制只是其中的兩種，兩者之間“360度=2π弧度”的關系，奠定了學生由已知到未知的基礎. 事實上，弧度制的引入更多的是服務于弧形的計算，從弧形的周長，到弧形的面積，用弧度制來計算都是極為簡潔的，如圓弧長度s就可以表示為rθ.要知道，“簡潔”是數(shù)學最為基本的特征，也是數(shù)學發(fā)展的重要推動力，在教學中如果注重這個因素，那學生的思維障礙往往可以迎刃而解. （此外，從三角函數(shù)求導的角度建立弧度制的必要性也很重要，只是其對于高中數(shù)學學習無法產(chǎn)生直接作用，故此不贅述.）

高中數(shù)學教學弧度有效教學

那么，到具體的教學實際中，如何有效地實施弧度概念的教學呢？或者說，怎樣的教學策略才是有效的呢？幾經(jīng)探索，筆者形成如下觀點：

其一，提供弧度制的建立必要性，打破學生原有的認知平衡，激發(fā)學生的學習動機.

這一策略重在給學生創(chuàng)設弧度制學習必要性的情境，筆者的做法是這樣的：先給學生提供兩個利用角度制解決問題的題目，讓學生回憶角度制的優(yōu)點與形象特征. 在此基礎上提供新的問題：某圓半徑為r，面積為S，則兩者關系是什么？這是一個極為簡單的問題，瞬間即可完成. 在此基礎上，教師將面積公式S=πr2轉(zhuǎn)換成S=πr×r，然后問學生，此等式中πr是否存在著什么特別的含義？這個問題學生基本上是無法回答的，但他們會意識到既然老師提出了這個問題，那就可能有著某種意義. 在學生這一心理的基礎上，教師讓學生去觀察這個因式，學生會發(fā)現(xiàn)其是由π和半徑r相乘而得. 這個時候教師再告訴學生，在某種表示角的單位制中，扇形的面積都可以表示為半徑平方與某個角的乘積的一半，即S=，那么，同學們能否從這兩個看起來沒有關系的表達式當中發(fā)現(xiàn)一些聯(lián)系呢？學生在這一問題的驅(qū)動之下就會仔細觀察，一般情況下，會有三五個學生發(fā)現(xiàn)其中的關系，有三分之一的學生能夠隱約發(fā)現(xiàn)這種關系，但無法準確描述.有了這樣的思維基礎，教師再給出最終的闡述：新的表示角度的單位制中，1弧度角即為長度等于半徑的圓弧所對的角. 學生就會尋找到上述兩個式子之間的對應關系，從而完成從角度制向弧度制的轉(zhuǎn)換.

其二，讓學生闡述弧度制與角度制的異同，并提供具體情形，理解弧度制的優(yōu)點.

在接受了弧度制之后，還要尋找到它的好處，才能讓學生接受弧度這一概念. 筆者首先讓學生認識到“角度是幾何角度的理解，而弧度是函數(shù)角度的應用”，然后在后續(xù)知識的學習中，只要運用到弧度，就可以讓學生思考一個問題：如果此時不是弧度，而是角度，那么我們解決問題可能會遇到什么樣的困難？這樣的問題，常常可以引得學生的會心一笑，弧度制應用之廣泛也可以深入學生之心.

其三，提供足量訓練，讓學生養(yǎng)成運用弧度制的習慣. 足量的訓練是十分重要的，只有學生在不斷的訓練當中生成運用弧度的直覺，學生才會將弧度概念當成一個基本的、可以直接運用的數(shù)學概念. 當然，這里所說的足量訓練應當是一種變式訓練，而不是某一種類型題目的重復訓練，這里還需要考慮到學生的學習心理，不能產(chǎn)生厭惡情緒.

以上三個策略的運用，一般可以讓學生知弧度之然，也可以知弧度之所以然. 事實上隨著高中數(shù)學知識學習的不斷深入，學生可以在三角函數(shù)、導數(shù)，對于較好的學生，教師還可以適當滲透微積分的基本概念，讓學生認識到弧度制的應用，要遠比角度制廣泛，且更為簡潔，因此成為更具廣泛性的度量角的方法. 在此過程中也可以引導學生認識到：數(shù)學知識的發(fā)展一定是向著廣泛與簡潔兩個方向的，數(shù)學建模也是為了讓復雜的生活對象變成簡潔的數(shù)學對象. 這種規(guī)律性的認識，可以引導包括弧度概念在內(nèi)的很多數(shù)學概念的深層次理解.

弧度概念教學之后的再思考

弧度概念只是高中數(shù)學中一個不太起眼的概念，可以從學生構建概念的角度去了解學生的學習實際，并提出更為有效的教學策略時，筆者發(fā)現(xiàn)對高中數(shù)學教學的研究空間還非常大，一些經(jīng)驗性的教學行為當中還存在著許多值得思考的地方.

就概念教學而言，一般認為概念具有基礎性，這種基礎性不應當是因為只有基礎性而忽視，而應當注意到這種基礎既是概念本身的基礎，也是基于其上的其他概念與規(guī)律的基礎. 同時更應當注意到在基礎概念的教學中要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，讓學生認識到數(shù)學概念的建立有其必然性與科學性，要讓學生形成關于數(shù)學的邏輯性發(fā)展認識，只有建立這樣的認識，學生才會發(fā)現(xiàn)自己所學習的數(shù)學過程，就是一個數(shù)學知識不斷積累、數(shù)學大廈不斷形成的過程，這對于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)來說，也是有積極意義的.