反思一道“三角函數綜合應用題”的典型錯解

周婷婷

摘 要：本文首先從知識點、解題思維、解題過程三方面對一道“三角函數綜合應用”題進行反思，其次呈現該題的典型錯解，并對錯解原因進行剖析，最后為教師提供教學建議.

關鍵詞：三角函數；錯解；反思

反思是數學教育領域的熱門詞之一. 在數學教學過程中，教師常會提到反思一詞，可見反思在數學教學中有著舉足輕重的地位. 三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用. 向量是近代數學最重要和最基本的概念之一，是溝通幾何、代數、三角等內容的橋梁，它具有豐富的實際背景和廣泛的應用. 本文對一道“三角函數綜合應用”題的反思，重在引導學生反思解題所用的知識點，解題思維的起點、層次和規律，從根本上提高學生的數學思維能力.

知識點反思：數學知識是解決數學問題的基礎. 例題屬于三角函數綜合應用題型（三角函數與平面向量、數列相結合），知識點包括三角函數概念及同角關系式、三角函數的圖象與性質、等差數列、等比數列、平面向量、平面幾何等.

解題思維反思：良好的思維起點是破題的關鍵.三角函數和向量、數列有機地結合起來，弄清三角函數與向量的“聯合點”，靈活應用等差、等比數列的性質，借助正、余弦定理，并準確地運用求三角形內切圓半徑的公式.

解題過程反思：清晰的解題過程可以反映學生清晰的思維. 根據等差數列的概念可得出f（x）的周期，根據等比數列的性質得到相應的等式關系，結合正、余弦定理得到△ABC的面積，最后根據面積法得到三角形內切圓的半徑.

錯解呈現

例題是重慶某學校高一下學期月考的測試題，分析的班是全年級比較好的班，全班57人，有20人得了5-7分（該題12分），即大部分學生只做對了第（1）問，部分學生對第（2）問無從下手. 對于解題過程中出現的錯誤與疏忽，不能只看到其消極的方面，更要認識到這是一個提高解題能力、完善認知結構的極好機會.例題的錯誤解答主要集中在以下三種類型.

1. 錯解1的呈現

如圖1，該類學生把三角形內切圓半徑與外接圓半徑弄混淆，以致解答錯誤.該類學生出現這種錯誤的原因可能有：讀題不仔細，沒有弄清楚題目的具體要求；知識認知上的錯誤，把求外接圓半徑的公式當作求內切圓半徑的公式.

2. 錯解2的呈現

如圖2，該類學生第（1）問能夠解答，但第（2）問就完全沒有思路. 該類學生對三角函數綜合的應用能力較弱，不知如何將數列應用到三角函數中，不清楚怎樣求三角形內切圓的半徑.

3. 錯解3的呈現

如圖3，該類學生掌握向量的定義，完成①，但三角函數的恒等變換掌握不好，出現錯誤②. 該類學生首先需要從基礎知識——三角函數的恒等變換方面進行補救.

反思能夠提高學生的數學思維能力、創新能力. 本文通過對例題典型錯解的反思，體現了知識點、解題方法、思維過程對學生解題有著重大的影響. 教師應引導學生學會反思，反思解題過程中出現的知識點、解題方法、解題思維.