由一道課本習題談構造法求數列通項

謝愛金

摘 要：由遞推數列求通項公式是解決數列難題的難點，也是高考的熱點之一.由于遞推數列形式多變、復雜，解法靈活，技巧性高，從而導致這一內容成為學生學習的瓶頸. 本文總結出幾種遞推數列的巧妙解法，希望能夠幫助廣大高中生突破這一難點.

關鍵詞：遞推關系；構造法；等差數列；等比數列

求數列通項公式是高考主要考查的題型之一. 對于等差或等比數列的通項有現成的公式，而對于一個普通的數列，如何求其通項，教材中并沒有給出具體的方法. 下面以一道課本習題就通項公式的求解進行拓展探究.

題目 （新課標人教版必修5第54頁練習）已知數列{an}，a1=1，an+1=，求a5.

遞推關系是數列相鄰兩項之間的關系，即由a1=1可求得a2=，由a2可求a3=，……，以此類推可求得a5=. 若將題目改為求an，又如何求解？

變式1：已知數列{an}，a1=1，an+1=，求an.

對于給出遞推關系求數列的通項公式問題，我們常用的策略就是構造法，即將一個普通的數列構造為特殊的等差或等比數列，進而求出通項公式.

點評：本題的難點是已知遞推關系式中的較難處理，可構建新數列{bn}，令bn=，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡變形.

綜上，由遞推關系求數列通項既是高考對數列考查的重點也是難點，難就難在類型多，技巧性強. 處理遞推數列問題的基本思想就是對遞推式進行變換，通過變換把遞推數列問題轉化為特殊的數列，即等差數列或者等比數列. 等差數列、等比數列是數列中的最基本也是最重要的形式，必須熟練掌握.