一道高考數列題的說題

蔣慶富

摘 要：說題，是時下比較流行的一種針對解題的研討方式，通過說題，追溯題源，探究解法，歸納解題思想，變式的處理，以及對相關題的觸類旁通，都有很好的指導意義.

關鍵詞：說；解法；思想；變式

原題：（2013江蘇19）設{an}是首項為a、公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和. 記bn=，n∈N*，其中c為實數.

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；

（2）若{bn}是等差數列，證明：c=0.

說題目立意

本題本質是研究一個數列是等差數列的充要條件，第一問考查等差、等比數列的基本運算，難度不大.

（1）考查等差數列和等比數列的基本量運算；

（2）考查等差數列和等比數列的性質；

（3）考查等差數列的前n項和公式；

（4）考查化歸思想；

（5）考查學生的運算能力、分析轉化能力和推理論證能力.

說題目解法

解法小結：解法1是用代數恒等式來處理，直接將等式兩邊用基本量“翻譯”建立代數恒等式；解法2是利用等差數列的通項特征；解法3從一般性入手，先求再證，思路明確，條理清晰；但解法煩瑣. 如果本題使用2bn=bn-1+bn+1來做，計算量會更大.

說數學思想方法

數學思想：轉化化歸思想、分類討論思想、方程的思想（等式的恒成立問題）.

數學方法：等差、等比數列基本量法，特殊化法

說試題背景來源

試題的背景和近幾年江蘇卷的數列有些不同，之前考查的數列對學生能力層次要求高，入手難. 題目本身其實是精彩紛呈的. 而2013年的數列19題設計很樸實，試題真正地源于課本，青菜做出了鮑魚味！精妙之處在于其問題設計，似曾相識，卻別有風味. 試題雖然不很難，卻對學生的理解和計算能力考查很到位，這種能力不是學生一蹴而就的，是需要長時間對數學的感悟和理解；并且該題給人以啟迪，耐人尋味. （有興趣的可查2004年的江蘇高考20題，與此題的相關度極高）

說問題變式與拓展

問題1 變式：若c=0，且Snk=n2Sk（k，n∈N*），那么數列{bn}中是否存在連續的3項成等比數列？

改編意圖：在變式1的方法結論基礎上將結論開放，探究.

問題2 變式：若數列{an}的前n項和為Sn，an>0，k≠0，k∈R，kSn=anan+1，問：a1，a2之間滿足什么關系時，數列{an}是等差數列.

改編意圖：改變條件的關系式，探究結論成立的條件.

從以上可以看出，只要我們平時花時間研究一定的典型題，尤其是高考題，對拓寬解題思路，歸納總結解題的方法和思想，從說題的主體看，說題可分為“教師說題”、“教師和學生互動說題”和“學生說題”， “教師和學生互動說題”和“學生說題”也是復習和習題教學中一種行之有效的教學方法. 對提升自己的教學專業水平和學生對題目與相關知識點的透徹理解，提升學生的數學學習興趣，一定會有較大幫助. 教師在不同的課堂教學中要適時加以應用.