結論非王道，解題需靈活

蔣紅雅

摘 要：數學是有規律的，它往往可以分門別類，可以歸納結論；數學是靈動的，它往往變動不居，需要領悟真諦.數學教學中教師們往往對結論歸納甚為上心，學生們往往對結論應用樂此不疲. 但這卻不能真正欣賞數學的美麗，因為結論應用只是虛有其表，領悟真諦才是王道.

關鍵詞：結論；靈活；對比；矛盾；反思

數學學科是一門具有規律性的學科，它所包含的種種問題往往可以分門別類，對于每一類的問題通常會存在一個與之對應的結論，這給數學教學帶來了方便：學生解題時，往往是結論的套用. 但事實是，這樣的教學是死板的，缺乏靈動的，因為數學的美麗就在于它的靈動性.每道題看似與一個結論對應，但它卻有自己的特殊性，死套結論只能解決一些問題，卻不能領略數學的真諦. 文章以一道恒成立問題及其變式的解題反思來論證：結論非王道，解題需靈活.

對比：結論增加難度，本質輕松化解

眾所周知，在數學中有一類恒成立的問題，針對不同的表達形式，可以分割成好幾類：有函數與參數比較大小恒成立的，有函數與函數比較大小恒成立的. 每種類型問題下都有與之對應的結論，例如：函數與參數比較恒成立的結論就有：“若g（x）>k在x∈H上恒成立，則g（x）min>k”；若g（x）﹤k在x∈H上恒成立，則g（x）max

反思：反觀上述解題過程，其復雜程度可見一斑：首先，它利用知識點交叉綜合使用，題目綜合運用了分類討論、參變分離、求導等數學方法；其次，也是更重要的一點是，此法用了高中內容不要求的二次求導. 顯然，這并不是一般學生所能接受的.

部分的圖象，而y=kx是一條過原點的直線，所以只需保證在[0，1]上y=kx圖象在y=sin圖象下方即可.

通過圖象可以發現當直線位于k位置（直線位于二、四象限）時成立，當直線轉動到一、三象限時，直線k2（斜率為1）是臨界位置，超過此位置直線會存在處于三角函數上方的部分，因此直線k的取值范圍為k≤1.

反思：通過數形結合，將符號表達式轉化成函數圖象的位置關系，是抓住了本問題的實質，從計算量看，數形結合比較結論計算少得太多，而這恰恰應當是問題計算本然的面貌. 因此不是本質減少了計算量，而是結論增加了復雜性.

矛盾：結論陷入圍城，真諦與之解圍

透過上述例題可以發現，生硬的套用結論增加了問題的難度，而有時生硬的套用結論還會將結論關入圍城，讓問題與結論產生“沖突”. 例如上述例題僅僅需要將不等號的方向轉換一下，恒成立的結論就不再適用了.

例 當0≤x≤1時，不等式sin≤kx恒成立，則實數k的取值范圍是多少？

相似的題目，相似的思路，在解決問題時，按照結論的套路：

①當x=0時，k∈R.

②當x∈（0，1]時，轉化為：k≥，可記f（x）=，即求k≥f（x）max，根據上述解題過程不難發現函數f（x）在（0，1]上單調遞減，而函數f（x）=在零處無意義，無法取得最大值. 在高中學生現有的知識范圍內，結論就與問題產生了矛盾：要求k不小于函數的最大值，而函數的最大值卻不存在.

其實，求函數f（x）最大值的實質是高等數學中，這是一種求型的極限值，其處理方式是洛必達法則，對分子、分母同時求導即==，所以k≥f（x）max=. 那么就帶來一個問題，高中生未學過洛必達法則，那么按照恒成立的結論來處理勢必會走進死胡同，無法求解.

在結論無法問題一個明確的解釋時，讓我們再次梳理一下題目，其實不難發現，問題的本質其實是要求在[0，1]上y=kx圖象恒在y=sin圖象上方的直線斜率的取值范圍. 由圖象可知，當直線位于k1位置時，k≤的臨界位置，當直線繼續繞著原點向上轉會出現k≥的臨界位置，即直線與三角函數相切時，過曲線上一點的直線與曲線相切，顯然這點為切點，（0，0）即為切點. 對f（x）求導，可得f ′（x）=cosx，則f ′（0）=. 所以k≥.

對比兩種方法，在結論的生硬套用過程中，結論讓學生陷入思維的困境，而不得不借助于高等數學中的知識才能解決，但在實際教學中，除了頂尖的學校中會將一些高等數學中的內容下放高中學習，這就失學習失去了平等性. 但如果學生在解題過程中不拘囿于結論，通過已有知識來認清問題實質，其實可以通過圖象的關系來輕松克服問題. 這恰恰是數學學習的真諦，也是數學靈動的美麗.

反思：結論乃非王道，解題尚需靈活

在教學中人們常說：教學有法，但無定法，貴在得法，將這句話借用到數學的學習過程中，筆者想說：數學有法，但無定法，貴在得法. 這就是說數學中的確存在著一定的規律性，學生在學習時可以遵守它，但數學又是靈活的，學習時不能死抱結論，需要掌握它的本質.

再次審視上述“特例”，其實也再次佐證了這種說法：題目是活的，結論是死的，生硬的套用往往會將問題復雜化，甚至會走向矛盾化. 對此教師和學生均需要反思. 從教師層面來講：在現實的教學過程中，很多老師往往熱衷于將每一單元中的知識點分割為幾種類型來歸納相對應的結論，但上述論證說明了結論乃非王道，因此教學過程中，教師不應當熱衷于機械地將知識點歸納為幾種特殊的類型，數學的規律是應當認識的，但不是在結論的總結中認識，而應當在教學生認識數學的真諦中傳授；從學生層面上講：在現實的數學學習過程里，很多學生在思想中固執地認為學習數學其實很簡單，只需將老師歸納好的結論記住，在具體的問題情境中遷移即可，但上述論證充分說明了學生的解題尚缺靈活性，機械套用結論，有時候會將自己、結論和問題都逼進死胡同，結論是可以用的，但不是機械運用，它是建立在你真正認識問題的本質基礎上的運用.

總之，我們的結論是：結論乃非王道，解題尚需靈活.