用放縮法證明“數(shù)列型不等式”的實施策略

魯智鋒

摘 要：放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)的難點. 由于其靈活多變，讓許多學(xué)生覺得沒有規(guī)律、無從著手. 為突破這個難點，我們可以在思維策略上加以點撥，提升其能力. 要能明確放縮目標(biāo)，放縮成“等比型”與“裂項相消型”，放縮法的難點在于減小放縮的誤差，可以采用延后放縮，但如果前面留下的項過多，計算量就會大. 縮小誤差的另一種方法是構(gòu)造變量，目標(biāo)驅(qū)動，引入?yún)?shù)，用待定系數(shù)處理. 有些“數(shù)列型不等式”需通過對目標(biāo)進行分析，采用構(gòu)造函數(shù)、比較法等方法處理，在思維上降低了難度. 這些都是放縮法處理“數(shù)列型不等式”常見策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)列型不等式；放縮法；策略

證明數(shù)列型不等式最重要的方法為放縮法. 放縮法的本質(zhì)是基于最初等的四則運算，利用不等式的傳遞性，對照著目標(biāo)進行合情合理的放縮. 但放縮程度很難把握，裂項技巧性又太強，常常因找不到放縮、裂項的途徑而導(dǎo)致證明的失敗. 如何找到放縮、裂項的一般途徑呢？放縮過程中最難處理的是減小放縮的誤差，這又如何處理呢？

對通項進行化簡，先求和再放縮

例1 已知數(shù)列an=，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求證：Sn<.

分析：對于這道題，思考的問題是先放縮還是先求和，看看條件中{an}的通項公式，分母中有遞推式：n2，（n+2）2，那么，就可以改寫成“遞推相減”的形式，所以，此題應(yīng)采用先求和后放縮.

這里的變量r、i與q稱為控制變量，作為誤差調(diào)整的手段，還要兼顧從第幾項開始實施放縮. 對于前三種的處理方法，顯然第三種處理方法要煩一點，從前面的分析中，我們要學(xué)會如果來選擇變量控制誤差，以及變量取什么值. 從目標(biāo)入手，目標(biāo)驅(qū)動想法，這種分析問題的意識很重要.

想法二：放縮成“裂項相消型”，如何恰到好處地放縮成“裂項相消型”，思維著力點：把原式放縮成一個具有遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)，通常是將分式結(jié)構(gòu)中的分母放縮成遞推式，然后裂成“遞推相減”的形式.

在問題研究的過程中，放縮的方向就是朝著“可求和”數(shù)列進行放縮，在“裂項相消型”的放縮中，問題的關(guān)鍵是將分母朝著“遞推式”進行放縮. 在控制誤差方面，一方面可以考慮延后放縮，另一方面可以考慮待定系數(shù)引入?yún)?shù)控制誤差，而引入?yún)?shù)的方法不唯一，所以此類問題處理也比較靈活.

構(gòu)造遞推不等式（等差型，等比型）

我們前面研究的“數(shù)列和”不等式的題型，條件中的通項都是給出的. 如果條件給出的是遞推公式，研究“數(shù)列和”不等式，那么我們首先要考慮的是，能否將數(shù)列的通項公式求出，如果通項公式求不出，那么我們常見的想法就是從目標(biāo)入手，對題目中的目標(biāo)進行研究，將遞推公式朝著等差數(shù)列進行放縮，或者朝著等比數(shù)列進行放縮，總之，也是朝著“可求和”的數(shù)列進行放縮. 如果是朝著等差數(shù)列進行放縮，通過對目標(biāo)的研究，得到放縮的公差是多少，假設(shè)公差為d，也就是說，我們放縮成類似于：an+1≥an+d形式，那么，由遞推關(guān)系，便得到：an≥a1+（n-1）d，且Sn≥na1+d. 如果是朝著等比數(shù)列進行放縮，也是通過對目標(biāo)的研究，得到放縮的公比是多少，假設(shè)公比為q（q>0），也就是說，將遞推公式放縮成類似于：an+1≥an·q形式，那么，同樣由遞推關(guān)系，我們便得到：an≥a1·qn-1，且Sn≥（1-qn）. 下面舉例說明.

從上述例題，看出遞推放縮的數(shù)列與不等式的綜合題，解決的關(guān)鍵在于放縮，放縮是一種不等變形，沒有目標(biāo)的指向，很難有效放縮，如果我們將其放縮成等差數(shù)列、等比數(shù)列，再從目標(biāo)研究，放縮的公差、公比是多少，那么放縮的指向性明顯加強，從而降低了此類問題的解決難度. 此外，根據(jù)對目標(biāo)的分析，確定放縮的目標(biāo)，可以利用比較法（作差或作商）來解決，在思維上也降低了難度.

本文對數(shù)列與不等式的綜合題的處理方法作了分析與研究，數(shù)列型不等式，它不但可以考查證明不等式和數(shù)列的各種方法，而且還可以綜合考查其他多種數(shù)學(xué)思想方法. 處理數(shù)列型不等式最重要的方法就是放縮法. 放縮過程中，我們需要考慮是先求和還是先放縮，如果通項能求和，這樣問題還是容易處理，如果通項不能求和，就需要先放縮再求和，朝著“可求和”的數(shù)列進行放縮，常見的是朝“等比型”和“裂項相消型”進行放縮，在放縮過程中經(jīng)常會出現(xiàn)放縮過大，那么需要減少誤差，在兩種減小誤差的方法中，相對而言引入恰當(dāng)參數(shù)控制誤差方便一些. 當(dāng)然，我們也可以根據(jù)數(shù)列的特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性等方法進行放縮. 對于條件給出的是遞推公式的數(shù)列不等式，我們應(yīng)該朝著等差數(shù)列或等比數(shù)列進行放縮，但如果我們能對目標(biāo)進行恰當(dāng)?shù)姆治觯业叫枰趴s的目標(biāo)，直接采用比較法將問題解決，相當(dāng)方便一些. 只有正確把握了放縮法的方法思路和規(guī)律特征，我們在證明數(shù)列型不等式的壓軸題時，就會豁然開朗，快速找到突破口.