對形如sinA+sinC的式子取值范圍解法反思

施春輝

摘 要：在解三角形的知識背景下有一類求解形如sinA+sinC取值范圍的問題，它有幾種衍生類型如求a+b，a2+b2，sin2A+sin2B的取值范圍，在這類問題解決過程中通行的思路，是將表達式統一轉化成關于某個角的表達式. 但在處理過程要注意兩點，首先是要注意減少未知數的個數；其次，是要注意確定代表元素的取值范圍.

關鍵詞：a+b；解題思想；解題方法

解三角形在高考中占據著非常重要的地位，是屬于B級的考查要求，其題目往往是簡單偏中等難度的類型. 而這類題目恰恰是學生成績的基礎，在解三形的知識體系下，有一類求解形如a+b取值范圍的題型，近些年來成為高考和各大市調研考試青睞的對象，值得花費一番心思去構建它的解題模型，形成固定解題程序，方便學生對這類問題的操作.

見微知著：由一道高考題引發的思考

2015年湖南省高考理科卷第17題的一道解三角形簡單的中檔題引發了筆者對這一類問題的思考.

模型建構：對形如sinA+sinC的題型的理論歸納

在實際的解題過程中學生可能遇到更多的類似于sinA+sinC這樣的題型，比如cosA+cosB，a+b，更復雜點的有sin2A+sin2B，a2+b2等不同表現形式的問題. 這些問題都有一個共性：即它們都包含著兩個未知數，并且這兩個未知數可以通過三角形這個中介轉化成同一個角的三角函數. 因此，這類題型的最基本的解題思想，即利用解三角形的相關理論，將表達式轉化成三角函數的表達式，通過確定角的取值來決定表達式整體的取值. 其具體模型概括如下：

（1）降低未知數的個數：對于直接給定正弦或余弦形的表達式，可以直接用三角形內角和的關系來進行角的替換，以此降低未知數的個數，而對于給定邊的和或給定邊的平方和，首先需要用正弦定理將其轉化成角表達式，然后再將角替換，以此降低未知數的個數.

（2）根據表達式的具體形式判斷是否需要用降冪公式，將表達式化成一次冪，對于平方和的形式往往需做這一步處理.

（3）確定作為未知元角的取值范圍：需要注意的是由于三角形三個內角是相互限制的，因此確定未知元角的取值范圍時，應當用未知元角表示其他角，列出相應不等式，取交集，以此共同限制未知元角的取值范圍.

（4）確定表達式的取值范圍：經過變換后，表達式往往可以寫成三角函數或以正弦（余弦）為內函數的復合函數的形式，可根據確定好的角的取值范圍，求解表達的取值范圍.

實踐探索：解題程序在具體問題中的運用

解題模型的建構僅僅是為學生解決這類問題提供了一定的參考標準，學生真正的解決問題能力還應當從解題的過程中展現. 如以兩道調研考試題目為案例具體說明，解題模型在具體問題中的運用.

上述幾道例題雖然在難度上略顯簡單，但卻貼近考試實際，也是形如sinA+sinC這種題型的典型例子：一種直接給予角的表達式；一種給予邊的表達式需要向角的表達式轉換.反思上述幾個例子我們可以從如下三個方面來解讀這一類型的題目：首先，從題目的復雜程度上講，有關邊的和差表達式求取值范圍要更為復雜，解決過程中首先涉及邊向角的轉換，因此對思維上的要求也就更高；其次，從題目的本質上講，無論是給關于角的表達式，還是給關于邊的表達求取值范圍，最本質上是利用三角形內角關系來限定代表元角的取值范圍，從而確定所求表達式的取值范圍；第三，觀察上述解題的第三步確定代表元的取值時，有時僅僅需要一個表達式就可限定代表元角，有時需要對三角形的所有內角范圍均有限定，才能確定代表元，這是由題目中所給三角形的形狀所決定的，三角形的形狀不同時，三個內角相互限制會導致代表元有不同的取值范圍.