淺析高考數學中有關遞推數列的問題研究

趙玲燕

【摘要】對于任何學科知識的學習來說，除了掌握必要的基礎知識之外，還需要具有一定的學習思維和解題方法。高中數學相對于其它學科來說，難度系數較大，學生學起來感覺有些吃力，有的時候感覺基礎知識和教材案例都掌握的非常好了，但是遇到問題之后還是表現的有些恐慌，甚至找不到解題的思路和切入口。在每年的高考中，牽扯的內容較多，其中不乏數列知識，在題型的設計上有選擇題、填空題也有探究性的大題，所占分值也不低。本文中，筆者通過文獻研究，分析了近幾年的高考數學題，以遞推數列的考試內容為例，分析和探究了有關遞推數列的解法問題，希望能對高中數學的教學發展和學生解題思維的提升起到一定的促進作用。

【關鍵詞】 高考數學 ?遞推數列 ?解題思維 ?解題方法 ?學生發展

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）11-0221-02

高考數學試題每年都是不一樣的，但是所謂的“換湯不換藥”，在總結歷年的數學考題中，我們發現很多的問題解答在方法上和切入點的突破上具有一定的相通性。針對數列知識牽扯到的對數列遞推公式的考查內容來說，翻閱高考數學試卷可以看出既是考試的熱點，又是考察的重點和難點，必須讓學生子啊掌握基礎知識的同時，提升自身的解題思維和解題能力，這樣才能以不變應萬變，提升解題效率和正確率。本文中，筆者運用化歸思想，構造新等差、等比數列，例談幾類遞推數列通項的具體模型，希望能對數學問題的解答提供一些建設性的意見和啟迪。

一、 型

形如 ?（為常數且）的數列，求解此類線性關系的數列的通項公式一般可用待定系數法，通過化歸，轉化為新的等比數列，最后結合新等比數列的公式或性質來求解與轉化。

經典案例：已知，求數列的通項公式。

解題過程：設，所以，

所以，即，所以數列是以

為首項，以3為公比的等比數列，即所

以 。

【解題思維評析】根據的線性關系，把所求數列通項問題轉化為求與其相關的新的等比數列問題，由于觀察、分析角度不同，因此解答此類問題方法各異。這里采用待定系數法可收到化難為易之功效。

二、型

形如的數列，求解此類數列的通項公式一般先通過變形為，再利用累加法 …，代入相應的關系式，再加以合理分析與求解。

經典案例：已知，求數列的通項公式。

解題過程：由于，

將上面個式子相加，得，

所以 ：

【解題思維評析】在運用累加法時，等式的左邊相加后只剩 ，等式的右邊一般是等差或等比的前n—l項和一般給出或很易求得。所以此法求通項較容易，但要看清項數，這是累加法易錯的地方，要引起重視。

三、型

形如的數列，求解此數列的通項公式一般先把原遞推公式轉化為，利用累乘法

·代入相應的關系式，再加以合理分析與求解。

經典案例： 已知數列滿足求·

解題過程：由條件知，

分別令 ，代人上式得（n一1）個等式累乘之，

即所以，又因為

，所以。

【解題思維評析】 在運用累乘法時，關鍵是正確處理累乘時等式右邊中對應的等式的運算與化簡。同時，和累加法一樣，要看清數列對應的項數，計算時數列的項數問題最容易出錯，要引起高度重視。

四、型

形如的數列，求解此數列的通項公式一般也可采用待定系數法，通過設定參數，轉化為新的數列如的問題，再化歸為相應的等比數列來求解與處理。

經典案例： 已知，求數列的通項公式。

解題過程：設，所以，所以，

所以數列是以3為首項3為公比的等比數列，所以 。

【解題思維評析】認真觀察、分析已知的遞推關系，逐漸將一個生疏問題轉化為熟悉問題，通過待定系數法，把陌生的數列問題巧妙化歸為等比數列，運用等比數列通項的求法求解，可謂“絲絲入扣”。

五、型

形如的數列，求解此數列的通項公式一般也是通過待定系數法，巧妙找出相應的遞推關系式，轉化為問題，最后再化歸為相應的等比數列來處理

經典案例： 已知數列中，求。

解題過程：令，易求

，

所以是公比為3的等比數列，其首項為，所以

，故。

【解題思維評析】根據題設特征恰當地構造輔助數列，通過待定系數法，利用基本數列可簡捷地求出通項公式。解答本題的關鍵是如何想到找到正確的的值，合理構造相應的等比數列，從而解決問題。

小結：本文通過具體事例，構造了五種數列模型，將原問題轉化為另一個比較熟悉、比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的。

數列知識和問題的考察成為高考數學考試內容經常牽扯的知識點，無論是從分值、數量還是難度上都有所提升。在高考數學數列知識的考察中，對數列遞推公式的考查已成為熱點，考試的頻率較高，但用遞推數列求數列通項有著很強的靈活性，導致很多的學生遇到問題之后就無從下手，找不到解答問題的切入點，使得學生在考試中不能穩定的發揮，導致學生情緒緊張慌亂，降低了解題效率和正確率，出現成績不理想的情況。實踐證明，提升學生解決此類問題的能力并不難，當我們接觸的問題難以人手時，思維就不應停留在原問題上，而應將原問題轉化為另一個比較熟悉、比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的。一般來說，在牽扯到由遞推數列求通項公式的問題中，解決的方法一般分為2種：第一種就是采用先歸納猜想，再用數學歸納法證明的方法來解決問題;第二種就是通過構造等差數列或等比數列，運用等差或等比數列的相關性質解答問題。因為等差數列和等比數列是兩類最基本的數列，學生比較熟悉，也能理解。所以，當學生遇到陌生的遞推關系式時，可以通過等價變形，化為熟悉的遞推關系式，再化為等差或等比數列，進而通過問題的轉換來解決問題。教學中引領學生在解題中感悟、運用化歸思想構造基本解題模型，對學生學習數學、發展能力和促進素質教育都是至關重要的，學生的創新精神也會在挖掘隱性關系過程中得到良好的培養。

數學知識根源于生活，是生活常識的抽象化總結。數學模型就是實現了抽象的數學理論和生活數學的有機結合，架起了一座橋梁，通過知識和問題的轉化，提升了解題的效率，這也是未來數學教學和考察的趨勢所在。它利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。運用遞推式解決數學問題，對開發學生數學思維、培養其數學應用能力有積極的作用，利用遞推式建模，將對我們的數學教學有極大的幫助。

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