基于教材和學(xué)生，創(chuàng)造對數(shù)學(xué)的理解

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓之一在于其內(nèi)涵的理性精神，這一精髓應(yīng)貫穿于教師解讀教材、設(shè)計教學(xué)過程與優(yōu)化教學(xué)細(xì)節(jié)之中。教師唯有對教材做出豐富的解讀、把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，才能創(chuàng)造對數(shù)學(xué)的理解，有效提升教學(xué)效果，發(fā)展學(xué)生學(xué)力。

【關(guān)鍵詞】理性精神;數(shù)學(xué)理解;發(fā)展學(xué)力

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）38-0055-02

【作者簡介】王應(yīng)標(biāo)，江蘇省清江中學(xué)（江蘇淮安，223001）副校長，江蘇省特級教師，正高級教師。

一、深度解讀教材，體現(xiàn)學(xué)科的理性精神

陳園園老師執(zhí)教的這節(jié)課是蘇教版《高中數(shù)學(xué)·必修五》“簡單的線性規(guī)劃問題”的第一課時，教材的處理方式為：考查目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為與直線截距有關(guān)的量。但這種處理方法與學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實相距較遠(yuǎn)，因為之前學(xué)生并沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過必修二中有關(guān)直線的內(nèi)容，不了解截距的概念與意義。是服從教材、照本宣科，還是從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，超越對教材亦步亦趨的模仿，對所授知識進(jìn)行更加貼近學(xué)生思維實際的解讀？陳老師選擇了后者。

她深入思考后得出如下認(rèn)識：一是教學(xué)的起點應(yīng)從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)來設(shè)計，否則只能是教師的單向灌輸而無法激起學(xué)生思維的真正參與;二是線性規(guī)劃問題，也可以看成是在線性約束條件下求二元函數(shù)的最值問題。目標(biāo)函數(shù)的幾何意義離學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)較遠(yuǎn)，學(xué)生難以將新知納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。而把線性約束條件下求二元函數(shù)的最值問題，看成是一元函數(shù)最值問題的推廣與一般化，這樣的處理手法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)一貫的學(xué)科特色思維，即遇到特殊問題，總想能否推廣，使之具有更大范圍的應(yīng)用價值。同樣，遇到陌生問題，總想能否化歸為已解決的熟悉問題。教師正是通過自己數(shù)學(xué)教學(xué)中的行為作風(fēng)，言傳身教，讓數(shù)學(xué)的學(xué)科價值最大化：首先是讓學(xué)生掌握知識;其次要通過知識，讓學(xué)生學(xué)到運用數(shù)學(xué)知識處理問題的方法技巧。但數(shù)學(xué)教學(xué)還不能僅止于此，還需讓學(xué)生體會諸如數(shù)學(xué)知識是解決問題的最有效工具、數(shù)學(xué)知識是縱橫聯(lián)系的、數(shù)學(xué)是講推理更講道理的學(xué)科等觀念，并對此產(chǎn)生深刻的認(rèn)同感。對于教材的不同解讀，既體現(xiàn)了教師備課過程中的“學(xué)生立場”，使得教材更加貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，更讓數(shù)學(xué)的學(xué)科價值得以彰顯。

作為一位有追求的數(shù)學(xué)教師，“我不創(chuàng)造數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)上我可以沒有建樹，但我要創(chuàng)造對數(shù)學(xué)的理解”[1]。陳老師在此次教學(xué)中展現(xiàn)出了對于學(xué)科教學(xué)知識勇于探索的精神，她力求把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于為學(xué)生理解的教學(xué)形態(tài)，讓學(xué)生看到了在數(shù)學(xué)學(xué)科特性熏陶下教師具有的獨立思考能力與批判意識——數(shù)學(xué)教學(xué)除授受知識外，還要彰顯它的學(xué)科價值。

“所謂教育就是在任何訓(xùn)練中幫助學(xué)生學(xué)習(xí)思考，但是它也必須幫助學(xué)生對他們的思考負(fù)責(zé)，盡管這個主題適合于所有學(xué)科，但它特別切合于數(shù)學(xué)教育，這是因為數(shù)學(xué)是這樣一個領(lǐng)域，在其中甚至小孩也能解決一個問題并且有把握肯定所得解是正確的。──不是因為教師說它是正確的，而是因為它內(nèi)在邏輯真是正確的?！盵2]這就是數(shù)學(xué)的理性精神。從長期角度看，教師的這種堅持“邏輯真”的行為潛移默化地影響學(xué)生，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，準(zhǔn)確地理解問題，理性地探索問題，求真理、講道理、究根底、不盲從、善思考。

二、精心設(shè)計過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)地認(rèn)識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索。本節(jié)課的基本線索是：提出問題，理解問題;分解問題，層層遞進(jìn)，即構(gòu)造二元函數(shù)——建立“等z線”——確定最值;反思回顧，確立算法;變式訓(xùn)練，拓展延伸。

本節(jié)課的教學(xué)起點是一元函數(shù)概念的適度推廣，讓學(xué)生建立二元函數(shù)的最值概念。從學(xué)生已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā)，學(xué)生比較自然地理解二元函數(shù)的最值概念，這主要得益于教師對教材的認(rèn)真研讀，“順勢而為”，將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

本節(jié)課的重點是建立求解線性目標(biāo)函數(shù)最值的模型，在解決問題之后，學(xué)生反思解決問題的過程，從特殊到一般，歸納出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：表示可行域，建立“等z線”，探求最值點，求解最值。在這個學(xué)習(xí)過程中，師生合作交流，以學(xué)生為主體，教師只是適度點撥，給予學(xué)生充分的時間和空間，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究的方法：在反思的基礎(chǔ)上，從特殊到一般，建立線性規(guī)劃的算法。

本節(jié)課的難點是建立“等z線”。難點突破的第一步是形成認(rèn)知沖突：面對無數(shù)個點，不可能通過列舉的辦法求出最值。第二步是探求共性：函數(shù)值相同的點在一條直線上。第三步是建立“等z線”：由地理學(xué)科中把海拔高度相等的點的連線稱為等高線，運用類比的方法，創(chuàng)造性地得到“等z線”的概念。

本節(jié)課的高潮是學(xué)生自己得到最值點。在得到“等z線”之后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考怎么得到最值點。學(xué)生拿出直尺，先動手實驗，再想象，得到邊界點就是最值點。問題的解決一氣呵成，學(xué)生充分享受到了思維的樂趣。

本節(jié)課通過學(xué)生數(shù)學(xué)地理解問題，經(jīng)過一步一步的探索，最終建立起一種算法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“模型化”的思維方式。問題的解決過程也是學(xué)生主動思考的過程，讓我們看到教師的教學(xué)理念：數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)。在課堂教學(xué)中，教者尊重學(xué)生的主體地位：凡是學(xué)生能做的，讓學(xué)生做;凡是學(xué)生可能會做的，讓學(xué)生嘗試去做。整節(jié)課讓我們看到了教師的匠心獨運，潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力。

三、優(yōu)化教學(xué)細(xì)節(jié)，展示教師的教學(xué)素養(yǎng)

教學(xué)中陳老師充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與學(xué)科的融合。在定義“等z線”時，她引導(dǎo)學(xué)生通過計算函數(shù)的值，得出函數(shù)值相等的點在一條直線上，借助地理學(xué)科的概念，運用類比的方法，合理定義“等z線”，學(xué)生得以用數(shù)學(xué)的眼光理解概念，在此基礎(chǔ)上，運用幾何畫板作出一系列直線，加深學(xué)生對概念的理解。在探求最值點時，讓學(xué)生動手實驗，發(fā)揮想象力，得出最值點就是邊界點，在此基礎(chǔ)上，再一次運用幾何畫板，通過直線的平行移動，從整體上把握函數(shù)值的變化，再一次確認(rèn)最值點就是邊界點。如果教學(xué)程序倒過來，教學(xué)時間可能縮短，學(xué)生也許也能理解概念和方法，但是學(xué)生失去了一次思維體驗，失去了一次自主探究知識的發(fā)生發(fā)展過程，但這恰恰是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦所在。

由于信息技術(shù)的普遍使用，老師們一般都會弱化板書的作用，但是陳老師的板書設(shè)計給大家留下了深刻的印象。哪些地方需要板書？板書寫在哪里？哪些地方的板書需要留下來，為后續(xù)的教學(xué)提供鋪墊？一節(jié)課下來，黑板上留下的板書就如一幅畫，給人以藝術(shù)的享受。板書中重點內(nèi)容的突出，有利于教學(xué)的順利展開，有利于學(xué)生對知識的理解，更有利于學(xué)生整體把握一節(jié)課的重難點內(nèi)容。

此外，陳老師的教學(xué)語言親切、自然、清晰，詳略得當(dāng)，提問語言準(zhǔn)確，講解語言精當(dāng)，更值得肯定的是：在學(xué)生思維受阻時，耐心等待，讓課堂靜下來，而不是自己充當(dāng)主角，代替學(xué)生主體思考。信息技術(shù)和學(xué)科的融合、板書的設(shè)計以及教師的教學(xué)語言充分展示了教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]裴光亞.我是誰？：一個教研員的反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（04）：02.

[2]美國國家研究委員會.人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來：關(guān)于數(shù)學(xué)教育的未來致國民的一份報告[M].方企勤，葉其孝，丘維聲，譯.北京：世界圖書出版公司，1993.