圓錐曲線應用中的建模教學實踐

張彩霞

摘 要： 本文主要通過圓錐曲線在實際問題中的應用，說明數學建模的方法，理解函數與方程、等價轉化、分類討論等數學思想.討論了將數學建模思想融入解析幾何中圓錐曲線教學的必要性和可行性，并論證了將數學建模思想融入教學中是目前實施高職數學建模教學行之有效的方法之一.

關鍵詞： 圓錐曲線 數學建模 教學實踐

解析幾何圓錐曲線在日常生活中應用廣泛，如何把實際問題轉化為數學問題是解決應用題的關鍵，而建立數學模型是實現應用問題向數學問題轉化的常用方法.學生對于現實生活聯系較近的數學問題頗感興趣，從而對學習數學建模思想和方法產生濃厚的興趣.以此為基礎，重點研究了這種建模實踐教學的課堂設計及課程的研究性學習.在圓錐曲線教學中融入建模思想式教學，培養學生數學建模能力，建立合理的數學模型是解應用題的關鍵.在什么情況下應用什么知識和方法建立模型，學生有時感到很茫然.下面就數學建模中的圓錐曲線問題分類介紹一些例子.以最大視角熟悉圓錐曲線在應用數學思想方法解決實際問題，論述了解析幾何課程數學建模思想滲透的必要性，并結合解析幾何的學科特點將數學建模思想融入解析幾何教學中，最后提出在解析幾何課程中滲透數學建模思想的方法和建議，從而達到提高學生應用數學思想、知識、方法解決實際問題的能力的目的.

一、建立橢圓形模型

評述：（1）在天體運行中，彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個焦點，該橢圓的兩個端點，一個是近地點，另一個則是遠地點，這兩點到恒星的距離一個是a-c，另一個是a+c.

（2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數學概念為根基充分體現了數形結合思想.另外，數學應用問題的解決在數學化的過程中也要時刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓練數學思維品質.

二、建立雙曲線模型

例2：A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6km，C在B正北偏西30，相距4km，P為敵炮陣地，某時刻A處發現敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4s后，B、C才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角.

剖析：本題的實際意義是求直線與雙曲線的交點。

解：如下圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標系，則

故炮擊的方位角為北偏東30°.

評述：讓學生鞏固加深對雙曲線定義的理解，以及求解直線與圓錐曲線的交點問題.希望學生能夠類比例題1，首先通過建立直角坐標系，構造雙曲線模型，再得出點所在的直線方程，聯立方程組，使本題得以解決.本例因為多增加了一個觀測點，就能確定發出信號的準確位置，這是雙曲線在軍事上的一個重要應用.

三、建立拋物線模型

例3：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米時，則水面CD的寬是10米.

（1）建立以拋物線頂點為原點的直角坐標系，求此拋物線的解析式；

（2）現有一輛載有救災物資的貨車從甲地經此橋到乙地，已知甲地到此橋280km（橋身忽略不計）.貨車正以40km/h的速度開往乙地，當行駛一小時時，忽然接到緊急通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時0.25m的速度持續上漲（貨車接到通知時水位在CD處，當水位達到橋拱最高點時，禁止車輛通行）.問：貨車以原來的速度行駛，能否安全通過此橋？若能，說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應超過每小時多少千米？

剖析：（1）在平面直角坐標系中，要確定拋物線的解析式，需要知道拋物線上點的坐標，因此將題目中的條件轉化為拋物線上點的坐標是解決問題的關鍵.

（2）貨車能否安全通過此橋，可從三個方面考慮.

a.可以對貨車從接到通知到到達橋的時間與水位到達最高點的時間進行比較.前者小于后者，就可以安全通過，否則，不可以.

b.先求出水位到達最高點需要的時間，然后計算出按原速度行駛的總路程與甲地到此橋的路程進行比較，前者大于后者，就可以安全通過，否則，不可以.

c.先求出水位到達最高點需要的時間，然后計算出按此時間到達此橋需要的速度與原速度進行比較，前者小于后者，就可以安全通過，否則，不可以.

這里只給出一種方法，其余方法請同學們自己嘗試.

評述：例3是在平面直角坐標系中，通過建立拋物線的解析式解決實際問題，解決這類問題的關鍵是要把相關的線段長轉化為拋物線上點的坐標，確定出拋物線的解析式，然后再把問題轉化為已知拋物線上點的橫坐標（或縱坐標），求其縱坐標或（橫坐標），再轉化為線段長回答實際問題.

解決圓錐曲線應用問題時，要善于抓住問題的實質，通過建立數學模型，實現應用問題向數學問題的順利轉化；要注意認真分析數量間的關系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質，確定正確的問題解決途徑，靈活運用解析幾何的常用數學方法，最終求得完整的解答.

解應用題時涉及兩個基本步驟，即將實際問題抽象成數學問題和解決這個數學問題，為此要注意以下三點.

1.閱讀理解，數學應用題給出的方式是材料的陳述，而不是客體的展示.也就是說，所考的應用題通常已進行過初步加工，并通過語言文字、符號或圖形展現在考生面前，要求考生讀懂題意，理解實際背景，領悟其數學實質.

2.數學建模，即將應用題的材料陳述轉化成數學問題.這就要抽象、歸納其中的數量關系，并把這種關系用數學式子表示出來.

3.數學求解，根據所建立數學關系的知識系統，解出結果，從而得到實際問題的解答.

本節就是通過圓錐曲線在現實生活中的應用，培養學生解決應用問題的能力.針對高中解析幾何教學本研究的主要結論是：1.教師知識面是數學建模教學實施的基石；2.讓學生動手探究問題是融入建模思想的有效方法；3.數學建模問題的設計是數學建模實施的有效途徑；4.正確使用多媒體對建模教學有促進作用；5.在日常教學中開設建模專題課.

參考文獻：

[1]中等職業學校國家審定教材.數學（第二冊）.江蘇教育出版社，2005.

[2]五年制高等職業教育教材.數學（第一冊）.蘇州大學出版社，2009.