幾何直觀：兒童思維發展的另一個生長點

楊凱　錢敏嫻

摘 要： 小學數學教學中，有效運用“幾何直觀”策略，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解。作者在教學實踐中，發現借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解，有機滲透數學思想方法，提高學生的思維能力和解決問題的能力。

關鍵詞： 小學數學教學 幾何直觀 兒童思維發展

隨著數學2011版新課程標準的頒發，“幾何直觀”列入了課程目標的核心概念，這預示著幾何直觀必成為數學教學研究中一個新的關注點。幾何直觀是指利用圖形描述和分析數學問題，探索解決問題的思路、預測結果。費賴登塔爾說：“幾何直觀可以告訴我們什么是重要的、有趣的和容易進入的，當我們陷入問題、觀念、方法的困擾時，幾何可以拯救我們。”借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，促進數學的理解；通過圖形進行觀察，有利于信息回憶和方法的促成；根據直觀認識研究圖形的性質和相關問題有助于數學問題的揭示。

一、抽象概念，在幾何直觀中清晰表征

小學生正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，具有較強的直觀性。數學概念比較抽象，小學生受到知識經驗和思維水平的限制和影響，常常會碰到一些很難用語言解釋清楚的性質或概念。這時，圖形直觀往往會成為有效的表達工具，他們對直接看到的和自己動手實踐操作的數學教學內容，就覺得容易接受。

案例1：撥開云霧見青天

乘法分配律的教學歷來是老師關注的焦點，為什么要如此關注？有的老師說過：乘法分配律講著明白，就是不會用，一讓簡算就易出錯。主要形式有：①“（a+b）×c”與“（a×b）×c”混淆；②“（a+b）×c”演算成“a+b×c”。在課堂上，如果僅僅只讓學生經歷從“數”到“數”，從“算”到“算”的乘法分配律建構過程，那么他們對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿的層面。我嘗試了以“面積圖”為載體，出示了下圖：

通過這樣一個面積圖，學生很直觀形象地理解了乘法分配律。接著讓學生解決實際生活中的實例：李師傅在給墻壁貼瓷磚（如下圖），他一共貼好了幾塊瓷磚呢？（用兩種方法）

學生發現可以用等號把兩種方法的算式連接起來。4×3+6×3=（4+6）×3，通過看圖學生很容易找到解決問題的辦法，對于理解乘法分配律就比較到位了。

二、理解算理，在幾何直觀中深層建構

在計算教學中，很多老師常注重計算方法的教學，而忽視算理教學。結果，部分學生雖然能掌握計算方法，但對算理理解較難深入，常常是知其然而不知其所以然，停留在模仿階段。學生不能理解算理主要是因為沒有實現“將抽象的算法具體化”和“從具體中進行抽象”這樣兩個轉化。

為理解算理，在小學階段，我們常用的手段就是動手操作。比如低年級學生常用的小棒、計數器還有數尺，動手操作的目的，就是要通過操作活動在人腦海中形成表象，在表征過程中對問題進行深層次的思考，形成更深刻的、個性化的認識和體驗，使外在的操作真正內化為學生認識的動力。

案例2：豁然開朗

“計算有余數的除法，余數要比除數小”是有余數除法中的一個重難點內容。通常教學中教師只注重觀察有余數除法的算式讓學生發現“余數要比除數小”，但此時發現的規律只是停留在現象上，學生往往不能真正理解為什么余數要比除數小的道理。如何讓學生不僅知道這個結論，更能明白“余數為什么比除數小”的道理呢？在具體教學有余數的除法時，有一位老師做了以下嘗試。

師：如果我們拿剛才的13根小棒，擺三角形和正五邊形，可以擺幾個？還余下幾根呢？請你們先在腦子里搭一搭，再動手畫一畫，看看和腦子里想的是不是一樣？然后用算式表示出來。

生1：△△△△ | 13÷3=4……1

生2： | | | 13÷5=2……3

師：如果我們繼續拿14根、15根擺三角形、正五邊形，可以擺幾個？還余下幾根呢？請你們先在腦子里搭一搭，再用算式表示出來。（生獨立活動，交流反饋。）

師：如果我們來搭三角形，余下的根數可能比3多嗎？搭正五邊形呢？你發現了什么？（學生自由說，討論得出余數必須比除數小。）

在上面的片段中，先讓學生在動手操作中積累感性經驗，給了學生充分體驗的機會，學生用圖形表征，是一個由具體的到抽象的過程，可以幫助學生更好地理解余數比除數小的關系。借助圖形表征能夠讓學生實現多重數學語言的轉化，幫助學生建立多重知識表象在教學中，同時提高學生的幾何直觀表現能力和運算能力。

三、解決問題，在幾何直觀中深化思維

從小學生的思維特點看，他們以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡。而教材上許多數學問題都以文字形式呈現，純文字的問題語言表述上比較簡潔，枯燥乏味，致使他們常常讀不懂題意。如果學生能自己在紙上涂一涂、畫一畫，借助直觀的圖形把抽象的數學問題具體化，就能幫助讀懂題意、理解題意，找到解決問題的關鍵，從而提高學生解決問題的能力。

案例3：茅塞頓開

數學書上有這樣一道習題：“有三堆圍棋子，每堆60枚。第一堆黑子與第二堆的白子同樣多，第三堆有是白子。這三堆棋子一共有白子多少枚？”在引導學生探討解決問題的思路時，學生發現根據“第三堆的白子是60的”能算出第三堆白子的個數，而“第一堆和第二堆各有多少個白子”，題目中沒有說明，學生感覺茫然理不出頭緒。此時，我啟發學生畫一畫圖，學生畫出圖后立即就找到解決問題的方法了（如圖）。通過圖示，學生發現第一堆的白子和第二堆的白子加起來正好等于一堆圍棋子的個數，是60個。不需要去求第一堆和第二堆各有多少個白子，就能算出三堆棋子中一共有多少個白子了。

四、探索實踐，在幾何直觀中經歷再創造

直觀是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認知結構中鮮明性強，可以多思路、反復地給抽象思維以技巧。通過圖形的直觀性質闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化、互相滲透，不僅使解題簡潔明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學生發現并理解數學結論，而且有利于掌握數學發現的方法，有利于培養學生的觀察能力和空間觀念。