高中數學函數教學的幾點關注

楊歡濤

【摘要】函數是高中學生在數學學習過程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，理解、掌握函數的概念，對高中數學其他相關知識的學習至關重要，函數是高中數學教學的重點.這部分教學應加強與其他內容的聯系，突出數學本質，抓住重點.

【關鍵詞】高中數學;函數教學;問題;關注點

近年各地高考中都加大了函數的考查力度.函數作為高中數學重要的概念和知識點，滲透在高中數學各大版塊的教學中，函數已經成為高中數學的紐帶.掌握函數的基本思想，對學好高中數學起著至關重要的作用，無論是從數學的應用還是從數學本身的發展上，函數的重要性怎樣說都不過分.下面詳細討論下函數教學的幾個關注點.

一、強化函數與相關數學知識的聯系，讓學生從思想上提升對函數思想方法的認識

函數作為高中數學的一條主線，貫穿于整個高中數學課程中.在方程、不等式、線性規劃、算法和隨機變量等內容中都突出地體現了函數思想.下面具體談談不等式中函數思想的運用.

在坐標系中，函數y=f（x）的圖像把橫坐標軸分成若干區域.一部分是函數值等于0的區域，也就是{xy= f（x） =0};另一部分是函數值大于0的區域，即{xy=f（x）> 0};再一部分是函數值小于0的區域，即{xy=f（x）<0}.把不等式的思想轉化為函數的思想.所以用函數的觀點看，解不等式就是確定使函數y=f（x）的圖像在x軸上方或下方的x的區域.這樣，就可以先確定函數圖像與x軸的交點[方程f（x）=0的解]，再根據函數的圖像來求解不等式.所以，解不等式的問題也可歸結為研究函數局部性質的問題.特別須注意的是，不等式的證明是高中數學的一個難點，一些不等式的證明往往感覺無從下手，但若運用函數的思想觀點則會迎刃而解，同時這也有利于學生創造性思維的培養.下面舉實例說明：

例1 設a，b，c∈R，證明：a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0.

分析 此題的常規思路是配方法，但由于此題取等號的條件不易發現，要把左邊配成完全平方和的形式實屬不易.但若換一種思路，利用函數思想把左邊看成關于其中一個變量的函數，則問題轉化為該二次函數的值域非負，因而只需證其判別式值非正，從而有如下證法.

證明 令f（a）= a2+（3b+c）a+3b2+3bc+c2，把它看作關于a的二次函數，對應一個二次方程，因為Δ=（3b+c）2-4（3b2+3bc+c2）=-3（b+c）2≤0，所以f（x）≥0恒成立，即a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0這樣就使這個不等式問題簡化.

又如：

例2 函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意x∈R，f′（x）>2，則f（x）>2x+4的解集為.（2011遼寧高考）

解 設g（x）=f（x）-2x-4，則g（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0，又因為g′（x）=f′（x）-2>0，所以g（x）在R上是增函數，所以原不等式可化為g（x）>g（-1），所以x>-1.

本題體現了用構造函數法解不等式，說明函數在解不等式問題中能起到很大的作用.

總之，在高中數學課程中，方程、不等式、線性規劃、算法、導數、隨機變量以及大部分專題的內容，都與函數有著密切的聯系.因此，在教學中，教師應特別注意揭示函數與這些內容的內在聯系，引導學生在整個高中數學課程的學習中不斷體會、理解函數思想帶來的“好處”.

二、抓住本質，突出重點，淡化純技巧解題

高中數學新課程已經改革多年，筆者所在的江蘇省高考每年還是有一個函數壓軸題和若干函數知識小題，這就要求我們一線數學老師在函數課堂教學中必須要抓住重點.

在高中數學新課程教學中，應該把主要精力放在理解函數的圖像、性質和變化規律上，淡化求函數定義域與值域的訓練.例如，對于單調性的證明僅限于一些簡單函數，如y= ax+b，y=ax2+bc+c（a≠0）， y=x，y= x2，y=x3，y = x-1，y=x.另外，根據函數在一個區間內的導數的符號可以判斷函數的單調性，反之，也可以用單調性判斷導數的符號.這些結論的證明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的.除了單調性，周期性也是中學階段學習的函數的一個基本性質，用周期的觀點來研究周期函數，可以使我們通過集中研究函數在一個周期內的變化來把握函數在整個定義域內的變化情況.在高中數學課程中不討論一般函數的周期性，只討論具體三角函數，如正弦、余弦和正切函數的周期性.奇偶性也是中學階段學習的函數的性質，但它不是最基本的性質，奇偶性反映了函數圖形的對稱性質，奇偶性反映圖形的對稱與坐標系的選擇有關，在高中數學課程中，對于一般函數的奇偶性，不做深入討論，只討論基本的具體函數，如：

y=ax+b，y=ax2+bc+c（a≠0），y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x，y=sinx，y=Asin（ωx+φ）的奇偶性，這也就要求我們在平時的教學中對這方面的內容應把握合適的度.

三、重視在課堂教學中根據不同層次學生選用不同的教學方法

我們在函數實際教學中，需要根據不同學生水平選擇不同的教學方法.舉一個函數求值域問題的例子.

所以，我們在平時的函數教學中需要多思考，尋求更適合本班情況的教學方法，才能事半功倍.