等腰三角形一個重要結(jié)論的證明與應(yīng)用

李修權(quán)

【摘要】教師在初中數(shù)學教學活動中，引導(dǎo)學生積極主動探索定理的證明和應(yīng)用，是一個非常重要的教學過程.文章從一個等腰三角形的結(jié)論出發(fā)，引導(dǎo)學生達到積極主動探索、合作交流，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、動手操作、自主探索等方面得到進步與發(fā)展的教學目標.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；重要結(jié)論；證明與應(yīng)用；教學心得

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，學生是數(shù)學學習的主人.教師的職責是激發(fā)學生的學習潛能，引導(dǎo)學生積極主動探索、合作交流，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、動手操作、自主探索等方面得到進步與發(fā)展.

基于這一點，我們從一個等腰三角形的結(jié)論出發(fā)，讓學生在探索證明和應(yīng)用的過程中，以達到上述目標.

一個結(jié)論：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上任一點（不包括端點B，C）.過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，過B作BD⊥AC于D.求證：BD=PE+PF.

三種證明：利用面積分割法或利用截長法或補短法求解.

解法一（面積分割法）：

解法三（補短法）：類似于截長法，運用全等三角形和矩形的相關(guān)學生可自行解決.

以上三種證明方法，展現(xiàn)出很多知識點和解題思想：面積不變性證明恒等式，添加輔助線的方法，構(gòu)造并證明全等三角形，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等等.通過此證明，開拓學生多方思路，鞏固已學知識點，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和探索品質(zhì).

實戰(zhàn)應(yīng)用

1.矩形中的應(yīng)用：

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF的值為.

解析 由上述結(jié)論可知PE+PF就等于等腰△ABD中BD邊上的高h，由1[]2AB·AD=1[]2·BD·h，得h=2.4.

2.正方形中的應(yīng)用：

正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，A E=AD，P為BE上任一點（不與點B，E重合），PM⊥ AC于M，PN ⊥ AB于N，則PM+PN與AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解析 過B作BO ⊥AC于O，由上述結(jié)論可知，等腰三角形ABE中，PM+PN=BO，而BO=1[]2AC，所以PM+PN=1[]2AC.

應(yīng)用心得：上面兩個題的解決，很大程度上得益于我們給出的結(jié)論，雖然圖形有變化，但是，問題的本質(zhì)、原型沒有改變.所以我們應(yīng)善于總結(jié)歸納，把數(shù)學知識點的一些聯(lián)系和規(guī)律歸納出來，在學習上必能起到事半功倍的效果.

【參考文獻】

[1]沈文選.平面幾何證明方法全書[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2005：30-50.

[2]金衛(wèi)國，周偉.三角形面積公式的應(yīng)用[J].初中數(shù)學教與學，2004（3）.

[3]高俊元.解直角三角形中常見的數(shù)學思想方法[J].初中數(shù)學教與學，2006（6）.