面向教學的數學知識概述及探討

邵貴明　熊建軍

【摘要】探究面向教學的數學知識（MKT）的緣起，對MKT的成分、內涵和利用其指導教學實踐作出了初步探討和深入實際的分析.為數學師范生教育研究提供了一個有益的探索思路及方向.

【關鍵詞】師范生；數學知識；教學實踐；教學設計

【基金項目】湖北省教育廳科技項目，編號B2013137；黃岡師院數學應用與信息處理綜合訓練中心教研項目，黃岡師范學院數理學院sxjy201404.

自20世紀80年代以來，有關師范生面向教學的數學知識（MKT）的研究一直是人們關注的重點.在尋求有效途徑去提高師范生教育的質量和專業發展的研究中，近年來國際上關于MKT的研究更是不朽的話題.但是在當前的研究中，人們關注問題的角度、研究所處的地域差異性等影響不一，導致人們獲得的結論也迥然不同，故而更具有研究的價值.

1.面向教學的數學知識緣起

面向教學的數學知識是學科教學知識這一概念在數學教育領域的最新發展之一.學科知識和學科教學知識是其兩大支柱.這種學科知識和學科教學法知識的劃分可以回溯到一百多年前.Parr是美國當時的全國師范院校教育聯合會主席，指出教學過程的分析表明在每門學科中有一種屬于教學法的特殊知識.這種知識不同于學術知識.它們的不同在于目的、與事實的關系和獲得方式上.Parr是撒下了學科教學知識的種子.事實上，Shulman針對當時美國教師資格認證制度的缺陷而提出的學科教學知識（PCK）的概念.這才是人們最早普遍承認這個重要概念的時候.當時美國學科教育和教師專業教育分離式的教師教育體制給教師培養帶來了許多弊端，Shulman就此提出了“缺失的范式”，提出了學科教學知識的概念.這是一種使得教師與學科專家有所區別的專門知識.

Ball&Bass發展并介紹了一個綜合性的術語“面向教學的數學知識”（Mathematical Knowledge for Teaching，MKT），以及Suat，Kwee，Wai&Joseph提出的數學學科教學知識（MPCK）概念.其后的眾多數學教育研究中諸多關注MKT內涵和對實踐的影響價值.本課題致力于師范生的教育與培養，研究整合MKT在專業技能訓練或后續教育教學實踐中起到有益的效果.

2.面向教學的數學知識的成分

關于MKT的研究來源于美國，人們也普遍贊同這些研究，面向教學的數學知識首先應作為學科教學知識的一部分.An，Kulman&Wu把學科教學知識定義為有效教學的知識，包括三個成分：內容知識、課程知識和教學知識.“內容知識”包括寬廣的數學知識和在一定年級水平下教授的具體內容的知識.“課程知識”包括選擇和運用合適的課程材料，充分理解課程和教材的目標.“教學知識”包括指導學生的思考、準備教學、掌握有效的教學模型.她們認為教學知識是最重要的.MKT更趨近于如下理解：Suat，Kwee，Wai&Joseph提出的數學學科教學知識（MPCK）概念，其結構包括四種成分：（1）教師自身對數學結構和相互關系的理解；（2）為了解釋，教師擁有一系列的多樣化表征的知識；（3）教師能分析數學任務對學習者認知要求的能力；（4）教師理解和采取適當措施應對兒童學習困難和錯誤概念的能力.我們看到人們在關注教學效果的同時，更多的是關注教學過程，達到理想效果的途徑.也就是不是單一的數學專業知識本身，更多的是要面向教學的各環節，深入教育的心理過程.

3.師范生面向教學的數學知識的內涵及養成

在數學學科特定的主題下，教師必須了解知識存在于校外的教學環境，教學的數學知識本身，與其相關聯的行業、社會環境，這些都是我們能利用的教學資源.我們得引導師范生善于捕捉鮮活的實例.例如海豹的睡眠問題：海豹即使在水中睡覺時也需要呼吸.馬丁花了一個小時觀察海豹.在他開始觀察的時候，海豹正好露出水面呼吸，然后潛入水底睡覺.8分鐘以后，它再次露出水面呼吸，呼吸3分鐘后又一次潛入水底.馬丁發現整個過程很有規律.問題：一個小時后，海豹所處的位置正好是（ ）.A.位于水底 B.浮出水面 C.呼吸 D.潛入水中.數學師范生掌握的教學資源偏少，如果自身眼界不開闊，遇到此類問題反應甚至會不及學生.多的數學師范生認為多投入教學實踐就能達到理想的效果，事實上這是條單一、波折、費時又盲目的道路.因此我們如果一味地單一加強教學實踐訓練，更難以將教育理論的價值融合在實際中.事實上，數學師范生還是得從最根本的教育理論出發，只有自身理論水平上升到一定的高度后才能真正在實踐中有深刻的主動的認識，從而自主研究發展教學.

一條可行的方案就是在見習實習等實踐中同時再進行理論課教學，這時期的教學以數學教學知識為根本，依托實踐中的課堂教學為線索，加強學科教學知識內涵的認識.Shulman等研究者強調表征的知識，他們認為表征的知識是學科教學知識的核心.Grossman認為學科教學知識包含四個要素：（1）教師對于任教某特定科目的信念；（2）了解學生在不同學科中某些主題的先行知識；（3）課程的知識，包括：水平課程（與各相關科目課程的聯系）與垂直課程（了解學生所學過與將學的事物）；（4）教師必須熟悉對于教學某些概念或主題時，最有效的教學與表征方式，并能在適當時機運用.其中學科教學知識中應加入對課程知識的重視.

我們知道任何理論形成教育目標，然后能切實指導實踐，必須經歷教育者本身的潛移默化、厚積薄發的積累過程，同時仍需在不同地區的教育實踐中檢驗修正.例如，我們已經熟知Shulman的關于美國教師資格證制度弊端的觀點，實際上在我國教育現象中也有體現.毫不客氣地說，我們國家的教育改革很大程度上是在步美國之后塵.同理，我國基礎教育過去更多關注的是教師的教學技巧和學生學習的知識本身.現在是更多地關注面向教學與學習融合的時候了.數學師范生只有挖掘面向教學的數學知識的內涵，將之長期與教育教學實踐密切交融，才有可能迅速成長，甚至要延長到職后的學習研究中.

4.基于MKT的教學技能的相關性研究

我國數學教育具有鮮明的“雙基”（后發展為“四基”）特色，普遍教育者對于一線教育專家的經驗津津樂道.而經驗具有地域性、保時性，因人而異，甚至可能是“一個人的良藥是另一個人的毒藥”.如何將經驗轉化成具有普適性、傳遞性，可變通應用的理論呢？只有運用MKT的理論與實踐密切結合，選擇數學教學的核心活動進行分析.核心活動包括理解學生的已有認知，選擇、呈現數學概念的各種表征，評估、挑選、變通教材，在多樣的教學設計中做抉擇，以及如何引導課堂師生的討論等.學科教學知識能夠為教師提供這些實踐可循規律的“知識理解包”，復雜的實踐需要靈活預見的數學問題情景，在預測、計劃、實踐和反思中增長關于教學的數學知識.

基于MKT相關理論的認識，教師進行教學設計，首先要明確地根據合適的教學實際情境進行數學問題或學習任務設計.教師知識研究的這種研究層面反映了教學實踐的規律性與不可預測性的結合，更加貼近教學的本質特點.Ball發展了教學上有用的數學理解的概念，強調教師要具有數學的眼光和對課堂的知覺，去傾聽學生的心聲，預測學生學習方面的理解與困難，提出能應對學生觀念和誤解的有效教學策略.Ball對數學教學的研究為我們理解教師如何在教學實踐中運用知識提供了例證.研究不僅僅在于了解教師本身知道什么，而最終關心的是教師將自己的所知運用到教學情境中提高學生的學習.盡管也有人認為教師的數學知識對學生的學習幾乎沒有表現出明顯的影響關系，但更多的近期研究發現，教師在教學實踐中數學知識運用的測量項目上的反映與學生的學習成績表現出顯著的正相關.這為我們進一步探索教師如何在實踐中運用MKT提供了可能的前景.

在多年的教學實踐中，特別是在培養引導學生參加各類教學技能大賽中，我們的領會更加深刻.周楊在第四屆湖北省教學技能競賽中獲得第一名，當初自己對數學知識的教學也脫離了教學法的深加工，開始也不能把握學生對知識點理解的困難.又如在校家教中心舉辦的比賽中獲得第一名的龐仕林同學，他的“正弦定理”一課的教學設計前后經過多次修改.這節課設計的最初，我們看到師范生設計中也注意到了數學思想方法的滲透，首先從直角三角形中的規律類比猜想到斜三角形中的正弦定理，但是數學思想方法的應用很生硬很膚淺，在其后的數學推理證明中感覺就是為了證明一個結論而證明，數學證明的本質沒有展現出來.接著在解決實際問題中，設計了測量小河的寬度和比薩斜塔的塔高，引領學生用數學的眼光看待現實的問題，體現了數學的應用價值.但是這個眼光和應用之間還有很大差距，也就是閉門造車的后果，實際上并不太符合實際情景，不符合學生的認知特征.修改的教學設計是從游人測量比薩斜塔的塔高這個問題情景開始的，從解斜三角形開始課程，然后運用特殊化的思想轉化到直角三角形中的規律即正弦定理的特例，再自然運用比較與類比的思想轉化到斜三角形尋求一般規律.接下來就是凸顯證明中的數學思維的發生發展繼而形成能力，得以解決實際問題，照應文首解決比薩斜塔問題.在幾次教學環節和細節的修正中更多的是將師范生的數學知識與教學法知識融會貫通起來.

5.教育反思與展望

關于教育者對學科教學知識學習和發展，各方面觀點不一.范良火認為學科教學知識的發展主要在職后.有的教師認為同事之間的交流和閱讀專業書刊也比較重要，而大學的學習則不重要的.顧泠阮指出在目前的中小學數學課堂上，常常發生科學性的錯誤.現實中的很多問題恰恰是因為對教什么沒有一個清楚的認識.這兩種觀點針鋒相對，于是有人提出要削減數學系的專業課程，增加一些教育學和心理學的課程.個人認為適當增加一些數學教育學和數學心理學的課程而不是普通的教育學和心理學是有必要的，但更有必要的是調整課程內容的目標取向.課程目標是要培養數學家還是數學教育家？兩者能否并行而不悖，相育而不害呢？事實上，數學教師的數學專業知識對學生學習的影響存在一個“閾限問題”，即教師的數學知識達到某種水平后，數學知識的提升對課堂教學的影響很小.因此，我們倡導師范生充分發揮年輕有活力、學習能力強的優勢，多學習學科知識，防止在職學習學科知識的機會少，效果差；多從學科本身的特點出發思考教育教學問題，對教育教學的理念根據學科本身的特點作出目的性的論述說明.積累做數學的活動經驗，用教育教學理論來詮釋、發展自己的面向教學的數學知識.我們期待，扎根于面向教學的數學知識的教育方式帶給數學教育的新前景.

【參考文獻】

[1]Ball，D.L.（1988a）.Research on teacher learning：studying how teachers knowledge changes.Action In Teacher Education，10（2）.

[2]An，S.，Kulm，G.&Wu Z.H.（2004）.The Pedagogical content knowledge of middle school Mathematics teachers in China and The U.S Journal of Mathematics Teacher Education，7.

[3]范良火.教師知識發展研究[M].上海：華東師范大學出版社，2003.