對發現式數學教學的思考

趙麗軍

摘 要：發現式數學教學就是將數學課堂變為發現與創造的課堂，因此教師既要重視演繹推理，更要重視合情推理，使學生能夠體驗到發現與猜想過程中的興趣，激發學生的好奇心與創新激情。

關鍵詞：發現式 數學教學 演繹推理 好奇心 創新激情

在數學教學中采用發現式教學法，是指教師不直接把現成的知識傳授給學生，而是引導學生在教師事先精心設計、周密組織安排的一系列學習活動中，通過自主探索、合作交流，像數學家那樣去自己發現數學事實、主動獲取數學知識的一種教學方法。這樣教師不僅要教會學生演繹推理，更要教會學生合情推理，培養學生的好奇心及創造激情，從而讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。

一、教會學生掌握演繹推理的基本方法與規律

推理是從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。如果大前提正確，并遵守推理的基本規律，那么演繹推理得到的結論一定正確。它是證明數學結論、建立數學理論體系的重要推理方法。然而，有的學生在推理過程中，對作為大前提的已有定理、定義斷章取義，忽視某些條件，因而導致錯誤結論。

例如，判斷函數?（x）=1g（x-1）+1g（x+1）的奇偶性。有的學生將函數變形為，?（x）=1g（x-1）（x+1）=1g（x2-1），由?（x）=1g（-x）=1g[（-x）2-1]=1g（x2-1）=?（x），于是得出錯誤結論，?（x）是偶函數。事實上，?（x）的定義域是﹛x|x>1﹜，對任意x∈﹛x|x>1﹜時，而-x﹛x|x>1﹜，因此并不滿足偶函數的定義：對定義域中的任意X都有?（-x）=?（x）。

在教學中針對定理、定義中的條件，特別是隱含條件，都要通過典型例題，讓學生從錯誤中揣摩、理解，讓學生發現前提中每個條件的必要性、不可或缺性，避免學生頭腦中產生虛假前提。

在解決問題時，學生遇到的最大困惑是沒有解題思路，找不到解題的切入點。這就要求我們在教學中不僅要重視定理等結論的教學，更要重視分析問題解決問題的方法與思想教學、重視解決問題過程教學。在數學中常用的數學思想方法有綜合法、分析法、逆向思維方法、數形結合思想、轉化思想、構造思想方法、特殊值法等。只要教師精心設計好發現步驟，引導學生逐步發現，學生必然會興致勃勃地去探索。有些數學問題，采用通常的思路很難解答，這時就需要我們發散思維，采取特殊的思想和方法。

例如，已知a，b，c，d，e皆為實數，且滿足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求證：。很多學生見到問題后感到茫然，不知從何下手。然而，我們從函數思想出發，構造出二次函數f（x）=4x2+2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2+e2），配方后得，?（x）=（x+a）2+（x+b）2+（x+c）2+（x+d）2。學生很容易發現，?（x）≥0，又二次函數二次項系數為正，所以根的判別式?≥0，據此可推得要證結論。

由此可見，數學中的奇思妙想，轉化與變通，有時能夠起到撥云見日、破解迷思的奇效，它是智慧的積累、是經驗與靈感的結晶。只有通過大量訓練，日積月累，掌握各種數學思想方法，久而久之，就會運用自如。

二、教會學生合情推理

合情推理是指運用觀察、實驗、歸納、類比、推廣、限定、猜想等一套自然科學常用的探索方式的方法進行的推理。我國的理科教學，歷來較多強調邏輯推理，而對科學發現的合情推理有所忽視，導致我們培養的學生動手能力較差、創造性不強，極大地影響了創造性人才的培養，因此，加強對合情推理能力的培養已是刻不容緩。

1.在歸納猜想中培養學生的創新素質

歸納是由部分到整體、由個別到一般的推理。歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象，該結論超越了前提所包容的范圍，由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明。因此，它不能作為數學證明的工具，但通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題。

例如，求和：13+23+33+43+…+n3。可先啟發學生從簡單事例歸納，13+23=？（9=32），13+23+33=？（36=62），13+23+33+43=？（100=102），13+23+33+43+53=？（225=152），學生通過計算、觀察、概括，可以猜想到13+23+33+43+…+n等于某個自然數的平方。3、6、10、15、…有什么規律呢？帶著這一問題，同學們考試討論、嘗試，教師再適時啟發1+2+3+4+…+n=？，很快同學們就會歸納、并猜想到13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+…n）2=。

我們可以通過數學歸納法證明上述猜想是正確的。沒有經過證明的猜想可能是錯誤的。如著名的費爾馬猜想：對一切非負整數n，形如的數都是素數就是錯的。即便是錯誤的猜想，也會產生積極的意義，這在數學發展史上并不鮮見。歸納、猜想活躍了學生思維，調動了學生的學習積極性與創造性。

2.在類比中激發學生潛能

類比是根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，類比推理是由特殊到特殊的推理，是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性。類比是從人們已經掌握了的事物的屬性，推測正在研究中的事物的屬性，它以舊認識為基礎，類比出新的結果。類比的結果是猜測性的，不一定可靠，但它卻具有發現的功能。例如，在教學中，將集合的運算與實數的運算類比，將對數函數的研究方法與指數函數的研究方法：數形結合，由圖形到性質類比，將函數的極限運算性質與數列的極限運算性質類比。這樣一方面，促進了學生聯想與知識遷移，加強了新舊知識間的聯系，有利于學生建立起知識結構體系，另一方面，學生類比的過程也是學習科學研究方法的過程，有利于學生的發展。

因此，合情推理既是科學的探究方法，也是一種發現式教學方式。在教學中，我們要努力創造一種寬松的教學環境，鼓勵學生大膽猜想、既動手又動腦，培養學生發現的習慣與興趣，提高解學生分析問題和解決問題的能力。

三、激發學生好奇心與創造激情

好奇心是人類的天性，教師應當創設滿足學生好奇心的環境，設計合理的問題來激起學生的求知欲好奇心。

例如，學習等比數列前n項和公式時，可向學生講一個故事：古印度國王為了獎賞象棋的發明者，決定答應他的任何要求，而發明者提出的要求是：“請在棋盤的第一格上放1粒小麥，在第二格上放2粒小麥，在第三格上放4粒，第四格上放8粒，就這樣每次增加1倍，一直到第64格為止” 。國王剛開始覺得很好笑，但很快就發現他國庫里的小麥已經搬光了，還到不了棋盤上的第50格。請問，棋盤上64個格子小麥的總數是多少？折算為重量，大約是多少？在好奇心的驅使下，學生開始列式、計算，發現需要計算等比數列的前64項和，怎么計算呢？這就將學生的注意力吸引在了課題上。此時教師要創造民主、和諧、平等的教學氛圍保護學生求知欲，允許學生課堂插話，低聲議論等，鼓勵學生敢于質疑，大膽想象，要善于發現學生的閃光點，并及時予以肯定和鼓勵，增強學生的自信心。開展多種教學活動來滿足學生的好奇心。對于一些重點難點問題，除了課堂教學外，我們開展各種豐富多彩的教學活動，如組織辯論賽，搞數學競賽，相互測驗，數學家故事會，分析古今中外數學趣題 、一題多解、一題巧解等。通過活動激發學生的學生熱情與創新激情，提高學生發現創新的綜合素質。

發現式數學教學不僅重視數學知識，更重視培養學生的思維能力、培養學生的數學思想方法，培養學生發現創新的興趣和能力。

參考文獻：

[1]徐光考.數學探究性課堂教學的探索[J].數學通報，2005（10）.

[2]丁石孫.數學與創造[M].大連：大連理工大學出版社，2008（7）.

（作者單位：唐山師范學院玉田分校）endprint