直角建構 線段求值

薛鈞東

【內容摘要】直角（垂直）為條件的線段求值問題經常在中考試題特別是壓軸題中出現。該文結合初中數學新課程教學實踐，以近幾年中考中出現的相關試題為例，說明直角條件與勾股定理、相似三角形、三角形三邊關系內在聯系的意義建構，以說明線段求值問題的解題思路和方法。

【關鍵詞】初中數學 平面幾何 直角建構 線段求值

《義務教育數學課程標準》在教學建議中明確提出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。”①教師在日常教學中，不但應有效揭示數學知識的數學實質及其體現的數學思想，還應幫助學生理清相關知識之間的區別和聯系。直角（垂直）是初中幾何的重要內容之一，因為以直角為載體的試題可考查學生的多種能力，所以成為各地中考試題的熱點之一，又因其具有很強的綜合性，所以能增強中考試題的區分度。如，以直角（垂直）為條件的線段求值問題學生往往不知所措，不知直角與線段用什么知識聯系起來，從而形成解題思維中斷，導致解題思維障礙②。要幫助學生有效疏通障礙，就要讓學生學會意義建構。所謂意義建構就是要指導學生對當前學習內容所反映的事物的性質、規律及該事物與其他事物間的內在聯系達到深刻的理解，獲得舉一反三、融會貫通的教學效果。下面結合初中數學新課程教學實踐，以近幾年中考中出現的相關試題為例，說明直角條件與勾股定理、相似三角形、三角形三邊關系內在聯系的意義建構。

一、直角條件與勾股定理內在聯系的意義建構

案例1：如圖1，點O為矩形ABCD 的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s。當點F到達點C（即點F與點C重合）時，兩個點隨之停止運動。在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設點E，F運動的時間為t（單位：s）。是否存在實數t，使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

圖1

分析：假設存在實數t能使點B' 與O重合。由對稱性可得△EBF≌△EOF，即OF=BF、OE=BE。但等線代換圖上沒有直接我們所需要的Rt△，此時可通過對稱得到相等線段的一個端點（不是公共點）作另一線段的垂線段來構建我們所需的Rt△。即過點O作OM⊥BC于點M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM= BC-BF =6-3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+ FM2=OF2，即52+（6-3t）2=（3t）2，解得t= 。同理：過點O作ON⊥AB 于點N，則在Rt△OEN中，OE=BE= 10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2= OE2，即62+（5-t）2=（10-t）2，解得t=3.9。∵ ≠3.9，∴實數t不存在。

反思：關于直角三角形、矩形一次折疊問題在近幾年的中考中頻頻出現，這類問題能考查學生的數學思維、空間想象和綜合解題能力。快速正確解決這類問題的關鍵就是根據已知條件，通過直角（垂直）來建構合適的Rt△，并運用勾股定理建立只含一個字母的等式。案例1解決的關鍵是通過折疊得到的有公共端點相等線段的一個端點（不是公共點）作另一線段的垂線段來構建我們所需的Rt△，其特征是一邊通過等線代換后能與另一邊構成一條新的線段，再利用勾股定理構建方程來解決。

二、直角條件與相似三角形內在聯系的意義建構

如圖2，點B、C、D在一條直線上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠ACE =90°.可得△ABC∽△CDE（證明略）。這是常見的相似圖形，因其形似大寫的“K”，故稱為“K型圖”，當出現直角（垂直）條件且與折疊無關時，可通過構建K型圖得到相似三角形，再利用相似三角形對應邊成比例這一性質就可快速求出線段的長。

圖2

案例2：如圖3，已知直線l：y=-x +2與y軸交于點A，拋物線y=（x-1）2 +k經過點A，其頂點為B，另一拋物線y=（x-h）2+2-h（h>1）的頂點為D，兩拋物線相交于點C。

（1）求點B的坐標，并說明點D在直線l上的理由；

（2）設交點C的橫坐標為m①交點C的縱坐標可以表示為：_____或_____，由此請進一步探究m關于h的函數關系式；②如圖4，若∠ACD =90°，求m的值。

圖3 圖4

分析：（1）易得B（1，1），易證點D（h，2-h）在直線l上；

（2）①易知點C的縱坐標為（m -1）2+1或（m-h）2-h+2，可得（m-1）2+1=（m-h）2-h+2，即m= 。

②由于∠ACD=90°，通過直角頂點和兩邊端點作水平線和豎直線構建K型圖，即過點C作y軸的垂線，垂足為E，過點D作DF⊥CE于點F，可得△ACE∽△CDF，推出AE：EC=CF：DF，又∵C（m，m2-2m+2），D（2m，2-2m），∴AE=m2-2m，DF=m2，CE= CF=m，可求出m= 。

反思：相似三角形是初中數學的重要組成部分，是初中幾何中計算線段的主要方法之一，由于它綜合其他知識點的能力很強，因此在歷年的中考中已越來越突顯了它的重要地位。具有直角（垂直）條件但不具有折疊特征的線段求值問題常可通過構建K型圖得到相似三角形，再通過對應線段成比例來構建方程求解。若K型圖直接在題目中呈現給我們，通過K型圖很容易求出答案，但案例2并沒直接給出K型圖，一般可通過直角頂點的水平線或豎直線（直角兩邊在同側）與過直角兩邊端點的豎直線或水平線構建K型圖再進一步求解。

三、直角條件與三角形三邊關系內在聯系的意義建構

案例3：如圖5，△ABC中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動，則點B到原點的最大距離是______。

分析：此類問題的難點是不知從何下手，其關鍵在于抓住運動中不變的量。本題中定值AC恰為Rt△的斜邊，則其中線也必為定值。因此，利用AC中點來構建適當的三角形，為本題提供了解題思路。故取AC中點D，連結OD、BD，計算得OD=2、BD= ，當OD+BD=OB時（即B、D、O在一條直線上），就可求得點B到原點O的最大距離是 。

圖5

反思：三角形的三邊關系是初中幾何中主要的不等關系之一，求線段的最值問題也經常涉及到。解決該類問題的核心是構建恰當的三角形，其關鍵在于要抓住動點問題條件中提供的及其衍生得到的不變量。案例3這類斜邊為定值的問題經常取斜邊中點來建構三角形，其特征為兩條邊為定值，再利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊求最值。

總之，解決直角載體有關的線段求值問題，關鍵在于根據題設特征，建構與相關知識點的內在聯系，并快速找到解題思路，掃清思維障礙，節約解題時間。在解題教學中，教師應教會學生運用替代、轉換、推理、演繹、建模等數學基本思想進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，獲得進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，達到教是為了不教的目的。

【注釋】

① 教育部. 義務教育數學課程標準[S]. 北京：北京師范大學出版社，2011.

② 吳億峰. 智商、情商和潛智能開發[M]. 廣東：廣東高等教育出版社，2000：76.

（作者單位：江蘇省蘇州市第一中學分校）