“解題后反思”習慣的培養

林志光

摘 要： 新形勢下的數學教學，旨在提高學生的學習效率，培養解題后的反思習慣，幫助學生總結經驗，發現規律，形成技能與技巧，還能觸類旁通，從而有效提高學習效率.

關鍵詞： 解題后反思 習慣培養 數學教學

解題是數學的精髓，也是學習數學的核心.一個數學問題成功解答，不僅需要學生對有關知識和數學技能的深刻認識和理解，還要與所學知識、數學經驗與方法有機結合起來，從而形成并掌握一定的解題策略.在實際的數學教學中，一部分老師和學生往往只注重解題數量，忽視了解題質量，致使部分學生陷入茫茫題海中，且效果不佳.其實，一道數學習題的解答成功與否，不在于數學習題本身的復雜程度，而是取決于是否掌握了正確的思維方法，即探索解題的思維方法和程序.學生解題時常有審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近的知識，考慮不周或計算出錯等錯誤，即解題時往往不能保證一次性正確和完善，所以解題后必須對解題過程進行必要的回顧與評價，對結論的正確性和合理性進行驗證.一些學生把完成作業當成任務，解完題后就萬事大吉，頭也不回，揚長而去，由此產生大量謬誤，導致學習效率低下.究其原因，就是沒有良好的數學思維品質，沒有養成解題后反思習慣.美籍匈牙利數學家喬治·波利亞說：“數學問題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.”因此，要有效地培養數學解題能力，解題后反思是一個不可缺少的重要環節，進行解題后反思，能幫助我們總結經驗，發現規律，形成技能與技巧，還能觸類旁通，有效提高學習效率.那么如何培養學生解題后的反思習慣？

一、讓學生明確反思的意義和作用

數學的學習是思維方法的學習，對一道數學習題，學生關心的不是現成的解法或答案，而是關心怎樣想到的，怎樣才能想到.如果一道習題解答成功了，就要知道是怎樣想到的，以后遇到這樣的問題應怎樣思考.如果解題失敗了，就要找出失敗的原因，以后遇到這樣的問題時應注意什么.反思往往能思出方法，思出技能.因此，解題后反思，實際上是一個知識小結、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程，是一個收獲期望的過程.通過解題后反思，能發展數學思維，并能將新的方法和知識構建在已有的知識體系上，通過解后反思，能增強自我學習意識，自我指導，自我批評能力，不斷對學習進行糾錯、創新，從而有效提高數學思維能力和解題能力.

二、激發學生反思的動力

一是要不斷激發學生的內部動力.學生都希望自己的學習成績優秀，希望能考出令自己、老師、家長滿意和令同學嫉妒的成績，在解題后希望自己的答案是正確的，方法是的新的，因此，對學生的獨特、新穎的解法要及時給予激勵，對能提出不同解法的學生要不斷鼓勵，激發他們繼續反思與探索；二是給他們一些外部動力，如在上課過程中，在完成例題后留一定的時間讓他們反思，在小結過程中讓他們反思回顧本節所學內容，在作業錯誤后讓學生及時訂正反思等.努力促進他們將外部外力轉化為內部動力，主動反思整個解題過程，這樣必將大大提高他們的數學思維能力.

三、指導解題后反思方向

解題是獲得知識和技能的重要途徑，解題后能及時總結反思，必能收到事半功倍之效.那么，解題后怎樣反思？反思什么呢？

1.思方法

解題后總結一下解題方法，歸納一下解技巧，有利于牢固掌握這種方法，培養觸類旁通、舉一反三的能力.

例1：如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F.

（1）求證：EO=FO；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.

證明：（1）∵MN∥BC，

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE，∴∠FEC=∠ACE，

∴OE=OC.同理可證OF=OC，∴OE=FO.

（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由（1）得OE=OF，又∵O為AC的中點，∴AO=CO.

∴四邊形AECF是平行四邊形.

又∵∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形.

此題中有角平分線和平行這兩個條件，由這兩個條件，得到△OCE和△OCF為等腰三角形，從而得OE=OF.通過這道題我們發現，只要有平行和角平分線這兩個條件，一般都可構造出等腰三角形，思出了方法，以后遇到有類似條件的問題，就可以這樣聯想了.

2.思變化

例2：已知：如圖，PA切⊙O于A點，割線PCB交⊙O于C、B兩點，D是線段BP上一點，且PD =PB×PC，直線AD交⊙O于E點.

1.求證：AD平分∠BAC；

2.求證：AB×AC=AD×AE.

若把題中條件“D是線段BP上一點”改為“D是線段BP延長線上一點”，則題（2）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

3.思學法

解題之后要及時歸納，要對做過的習題進行歸類：把題目相似但解法明顯不同甚至截然相反的歸為一類，分析解法不同的原因，方法上應怎樣進行改進；把題目雖然不同但解法相似的歸為一類，分析為什么；還要總結常見題型的常用方法及解題要點：不同題型解法上的差異.有的學生能做對同類型的幾道題，可一旦變換解題情景，變換設問角度，便無從下手.這就需要通過分析、反思，總結出解該類型題目的一般思路和方法.

總之，培養學生解題后的反思習慣，能促進學生對所學知識和技能的深化理解，也能促進學生所學知識與能力的相互轉化.

參考文獻：

[1]數學課程標準解讀.

[2]中國數學教育初中版，2011.

[3]中學數學雜志.endprint

摘 要： 新形勢下的數學教學，旨在提高學生的學習效率，培養解題后的反思習慣，幫助學生總結經驗，發現規律，形成技能與技巧，還能觸類旁通，從而有效提高學習效率.

關鍵詞： 解題后反思 習慣培養 數學教學

解題是數學的精髓，也是學習數學的核心.一個數學問題成功解答，不僅需要學生對有關知識和數學技能的深刻認識和理解，還要與所學知識、數學經驗與方法有機結合起來，從而形成并掌握一定的解題策略.在實際的數學教學中，一部分老師和學生往往只注重解題數量，忽視了解題質量，致使部分學生陷入茫茫題海中，且效果不佳.其實，一道數學習題的解答成功與否，不在于數學習題本身的復雜程度，而是取決于是否掌握了正確的思維方法，即探索解題的思維方法和程序.學生解題時常有審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近的知識，考慮不周或計算出錯等錯誤，即解題時往往不能保證一次性正確和完善，所以解題后必須對解題過程進行必要的回顧與評價，對結論的正確性和合理性進行驗證.一些學生把完成作業當成任務，解完題后就萬事大吉，頭也不回，揚長而去，由此產生大量謬誤，導致學習效率低下.究其原因，就是沒有良好的數學思維品質，沒有養成解題后反思習慣.美籍匈牙利數學家喬治·波利亞說：“數學問題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.”因此，要有效地培養數學解題能力，解題后反思是一個不可缺少的重要環節，進行解題后反思，能幫助我們總結經驗，發現規律，形成技能與技巧，還能觸類旁通，有效提高學習效率.那么如何培養學生解題后的反思習慣？

一、讓學生明確反思的意義和作用

數學的學習是思維方法的學習，對一道數學習題，學生關心的不是現成的解法或答案，而是關心怎樣想到的，怎樣才能想到.如果一道習題解答成功了，就要知道是怎樣想到的，以后遇到這樣的問題應怎樣思考.如果解題失敗了，就要找出失敗的原因，以后遇到這樣的問題時應注意什么.反思往往能思出方法，思出技能.因此，解題后反思，實際上是一個知識小結、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程，是一個收獲期望的過程.通過解題后反思，能發展數學思維，并能將新的方法和知識構建在已有的知識體系上，通過解后反思，能增強自我學習意識，自我指導，自我批評能力，不斷對學習進行糾錯、創新，從而有效提高數學思維能力和解題能力.

二、激發學生反思的動力

一是要不斷激發學生的內部動力.學生都希望自己的學習成績優秀，希望能考出令自己、老師、家長滿意和令同學嫉妒的成績，在解題后希望自己的答案是正確的，方法是的新的，因此，對學生的獨特、新穎的解法要及時給予激勵，對能提出不同解法的學生要不斷鼓勵，激發他們繼續反思與探索；二是給他們一些外部動力，如在上課過程中，在完成例題后留一定的時間讓他們反思，在小結過程中讓他們反思回顧本節所學內容，在作業錯誤后讓學生及時訂正反思等.努力促進他們將外部外力轉化為內部動力，主動反思整個解題過程，這樣必將大大提高他們的數學思維能力.

三、指導解題后反思方向

解題是獲得知識和技能的重要途徑，解題后能及時總結反思，必能收到事半功倍之效.那么，解題后怎樣反思？反思什么呢？

1.思方法

解題后總結一下解題方法，歸納一下解技巧，有利于牢固掌握這種方法，培養觸類旁通、舉一反三的能力.

例1：如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F.

（1）求證：EO=FO；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.

證明：（1）∵MN∥BC，

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE，∴∠FEC=∠ACE，

∴OE=OC.同理可證OF=OC，∴OE=FO.

（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由（1）得OE=OF，又∵O為AC的中點，∴AO=CO.

∴四邊形AECF是平行四邊形.

又∵∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形.

此題中有角平分線和平行這兩個條件，由這兩個條件，得到△OCE和△OCF為等腰三角形，從而得OE=OF.通過這道題我們發現，只要有平行和角平分線這兩個條件，一般都可構造出等腰三角形，思出了方法，以后遇到有類似條件的問題，就可以這樣聯想了.

2.思變化

例2：已知：如圖，PA切⊙O于A點，割線PCB交⊙O于C、B兩點，D是線段BP上一點，且PD =PB×PC，直線AD交⊙O于E點.

1.求證：AD平分∠BAC；

2.求證：AB×AC=AD×AE.

若把題中條件“D是線段BP上一點”改為“D是線段BP延長線上一點”，則題（2）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

3.思學法

解題之后要及時歸納，要對做過的習題進行歸類：把題目相似但解法明顯不同甚至截然相反的歸為一類，分析解法不同的原因，方法上應怎樣進行改進；把題目雖然不同但解法相似的歸為一類，分析為什么；還要總結常見題型的常用方法及解題要點：不同題型解法上的差異.有的學生能做對同類型的幾道題，可一旦變換解題情景，變換設問角度，便無從下手.這就需要通過分析、反思，總結出解該類型題目的一般思路和方法.

總之，培養學生解題后的反思習慣，能促進學生對所學知識和技能的深化理解，也能促進學生所學知識與能力的相互轉化.

參考文獻：

[1]數學課程標準解讀.

[2]中國數學教育初中版，2011.

[3]中學數學雜志.endprint

摘 要： 新形勢下的數學教學，旨在提高學生的學習效率，培養解題后的反思習慣，幫助學生總結經驗，發現規律，形成技能與技巧，還能觸類旁通，從而有效提高學習效率.

關鍵詞： 解題后反思 習慣培養 數學教學

解題是數學的精髓，也是學習數學的核心.一個數學問題成功解答，不僅需要學生對有關知識和數學技能的深刻認識和理解，還要與所學知識、數學經驗與方法有機結合起來，從而形成并掌握一定的解題策略.在實際的數學教學中，一部分老師和學生往往只注重解題數量，忽視了解題質量，致使部分學生陷入茫茫題海中，且效果不佳.其實，一道數學習題的解答成功與否，不在于數學習題本身的復雜程度，而是取決于是否掌握了正確的思維方法，即探索解題的思維方法和程序.學生解題時常有審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近的知識，考慮不周或計算出錯等錯誤，即解題時往往不能保證一次性正確和完善，所以解題后必須對解題過程進行必要的回顧與評價，對結論的正確性和合理性進行驗證.一些學生把完成作業當成任務，解完題后就萬事大吉，頭也不回，揚長而去，由此產生大量謬誤，導致學習效率低下.究其原因，就是沒有良好的數學思維品質，沒有養成解題后反思習慣.美籍匈牙利數學家喬治·波利亞說：“數學問題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.”因此，要有效地培養數學解題能力，解題后反思是一個不可缺少的重要環節，進行解題后反思，能幫助我們總結經驗，發現規律，形成技能與技巧，還能觸類旁通，有效提高學習效率.那么如何培養學生解題后的反思習慣？

一、讓學生明確反思的意義和作用

數學的學習是思維方法的學習，對一道數學習題，學生關心的不是現成的解法或答案，而是關心怎樣想到的，怎樣才能想到.如果一道習題解答成功了，就要知道是怎樣想到的，以后遇到這樣的問題應怎樣思考.如果解題失敗了，就要找出失敗的原因，以后遇到這樣的問題時應注意什么.反思往往能思出方法，思出技能.因此，解題后反思，實際上是一個知識小結、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程，是一個收獲期望的過程.通過解題后反思，能發展數學思維，并能將新的方法和知識構建在已有的知識體系上，通過解后反思，能增強自我學習意識，自我指導，自我批評能力，不斷對學習進行糾錯、創新，從而有效提高數學思維能力和解題能力.

二、激發學生反思的動力

一是要不斷激發學生的內部動力.學生都希望自己的學習成績優秀，希望能考出令自己、老師、家長滿意和令同學嫉妒的成績，在解題后希望自己的答案是正確的，方法是的新的，因此，對學生的獨特、新穎的解法要及時給予激勵，對能提出不同解法的學生要不斷鼓勵，激發他們繼續反思與探索；二是給他們一些外部動力，如在上課過程中，在完成例題后留一定的時間讓他們反思，在小結過程中讓他們反思回顧本節所學內容，在作業錯誤后讓學生及時訂正反思等.努力促進他們將外部外力轉化為內部動力，主動反思整個解題過程，這樣必將大大提高他們的數學思維能力.

三、指導解題后反思方向

解題是獲得知識和技能的重要途徑，解題后能及時總結反思，必能收到事半功倍之效.那么，解題后怎樣反思？反思什么呢？

1.思方法

解題后總結一下解題方法，歸納一下解技巧，有利于牢固掌握這種方法，培養觸類旁通、舉一反三的能力.

例1：如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F.

（1）求證：EO=FO；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.

證明：（1）∵MN∥BC，

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE，∴∠FEC=∠ACE，

∴OE=OC.同理可證OF=OC，∴OE=FO.

（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由（1）得OE=OF，又∵O為AC的中點，∴AO=CO.

∴四邊形AECF是平行四邊形.

又∵∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形.

此題中有角平分線和平行這兩個條件，由這兩個條件，得到△OCE和△OCF為等腰三角形，從而得OE=OF.通過這道題我們發現，只要有平行和角平分線這兩個條件，一般都可構造出等腰三角形，思出了方法，以后遇到有類似條件的問題，就可以這樣聯想了.

2.思變化

例2：已知：如圖，PA切⊙O于A點，割線PCB交⊙O于C、B兩點，D是線段BP上一點，且PD =PB×PC，直線AD交⊙O于E點.

1.求證：AD平分∠BAC；

2.求證：AB×AC=AD×AE.

若把題中條件“D是線段BP上一點”改為“D是線段BP延長線上一點”，則題（2）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

3.思學法

解題之后要及時歸納，要對做過的習題進行歸類：把題目相似但解法明顯不同甚至截然相反的歸為一類，分析解法不同的原因，方法上應怎樣進行改進；把題目雖然不同但解法相似的歸為一類，分析為什么；還要總結常見題型的常用方法及解題要點：不同題型解法上的差異.有的學生能做對同類型的幾道題，可一旦變換解題情景，變換設問角度，便無從下手.這就需要通過分析、反思，總結出解該類型題目的一般思路和方法.

總之，培養學生解題后的反思習慣，能促進學生對所學知識和技能的深化理解，也能促進學生所學知識與能力的相互轉化.

參考文獻：

[1]數學課程標準解讀.

[2]中國數學教育初中版，2011.

[3]中學數學雜志.endprint