加強數學建模教學，提高實際應用能力

許建平

摘 要： 為增強學生運用數學的意識，提高解決實際問題的能力，作者結合教學體會，從理論及實踐上分析了高中數學建模的必要性，并針對問題分析了高中數學建模教學的基本方法及培養學生創新思維的途徑。

關鍵詞： 數學建模教學 建模意識 創新思維

我國普通高中新數學教學大綱明確指出“切實培養學生解決實際問題的能力”，要求“增強用數學的意識，能初步應用數學模型解決實際問題，逐步學會把實際問題歸結為數學模型，然后應用數學方法進行探索、猜測、判斷、證明、運算、檢驗使問題得到解決。”這些需求不僅契合數學自身發展的需求，而且是社會發展的需要。

一、明確數學建模，培養建模意識

“數學就是對于模式的研究”。（著名數學家懷特海語）什么是數學模型？即，對于某一特定研究對象，為了特定的目的，在一些必要而特定的簡化假定的前提下，應用恰當的數學工具，并以數學語言的方式表述出來的一個數學結構。如數學中的各種數學公式、定理、方程式等，都是一些具體可感的數學模型。比如，二次函數即是一個數學模型。通過轉化為二次函數的模式，很多數學問題和實際性問題能得以解決。如此，通過把問題數學化，借以模型構建，進而求解檢驗，從而使問題得以解決的方法，被稱作數學模型方法。所以，說到底，我們的數學教學應該教給學生前人已知的一個個數學模型及如何才能夠構建模型的思想意識，以便讓學生能夠應用數學模型解決數學問題及實際問題。

那么，具體地講，數學模型方法是怎樣操作的？如下所示：

由此可見，培養學生應用數學建模方式解決實際問題的能力關鍵在于把實際性問題轉化為數學問題，這就必須先進行觀察分析、提煉出實際問題的相關的數學模型，再把數學模型融入相關的知識系統中進行相應處理。這就要求學生必須有一定的抽象思維能力，還要有一定的觀察能力、分析能力、綜合能力及類比能力等。當然這種能力并非一朝一夕就能夠輕而易舉地獲得，它需要教師始終把數學建模意識的培養貫穿在數學教學之中，即應該不斷誘導學生以數學思維和觀點進行觀察、分析和把握各種關系和數學信息，從復雜繁瑣的實際問題中抽象化為熟知的數學模型，最終解決實際問題，并要能夠使數學建模意識潛化為學生思考問題的方法和習慣。

二、了解建模條件，掌握基本途徑

1.樹立學生的建模意識，應先內化自己的建模意識。這就意味著我們不僅在教學內容和要求上力求變化，更飽含著教育思想及教學觀念的不斷更新。因而，我們除需要了解本學科的發展歷史進程和發展動態之外，還應該不斷地學習新的數學建模理論，并且努力研究如何使之應用于現實生活。如，我在大街上曾看到這樣的一則廣告：“本店承接A1型號影印。”A1型號是什么？在弄清了諸多型號的比例關系之后，我就把這一材料引入到教學之中，獲得了較好的課堂教學效果。

2.數學建模教學立足于現行教材。在教學中，應該向學生盡可能多地介紹一些常用的、典型的數學模型。比如，函數模型、解析幾何模型、數列模型、方程模型等。我們應研討在各個教學章節中應引入哪些模型問題，如儲蓄問題可結合在數列教學中。在建模意識的滲透中，通過長期的潛移默化，學生就能夠從各種建模問題中慢慢感受到數學建模的廣泛應用，從而誘發學生研究的興趣，進而提高應用數學知識進行建模的能力。

如，在教學二次函數的最值問題后，為促使學生懂得如何用數學建模的方法解決實際問題，我通過下面的例子輔以講解。例：包間的定價問題。某個大酒店有150個包間，經過一階段經營實踐，得出：每間包間定價為160元時，下訂率為55%，每間包間定價為140元時，下訂率為65%，每間包間定價為120元時，下訂率為75%，每間包間定價為100元時，下訂率為85%。要使每天收入達最高值，每間包間應怎樣定價？

[簡化假設]

因為一個實際問題往往是復雜多變的，如不經過合理的簡化假設，將很難轉化成數學模型，即便轉化成功，也可能是一個復雜的難于求解的模型，從而使建模歸于失敗。所以作出假設時要充分利用與問題相關的學科知識，充分發揮想象力和觀察力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素。此外語言要準確，就像做習題時寫出已知條件一樣。對例題來說，依前面的分析，我們可作如下假設：（1）每間包間最高定價為160元；（2）設隨著定價的下降，下訂率呈線性增長；（3）設大酒店每間包間定價相等。

[建立模型]

按照假設分析相關變量間關系，尋求等量（不等量）關系或其他關系以建立模型。這中間要盡量利用已知領域的已知模型或結果，通過類比等方法構造模型。另外，建立模型時還要注意一個原則：能用初等工具絕不用高等工具，能用簡單方法絕不用復雜方法。按照上題我們建立其數學模型。

設y表示大酒店一天的總收入，與160元相比每間包間降低的定價為x元。由假設（2）可得，每降價1元，下訂率就增加10%÷20=0.005。因此，得出，y=150（160-x）×（0.55+0.005x）。由0.55+0.005x≤1，可知0≤x≤90。于是問題轉化為：當0≤x≤90時，y的最大值是多少？

[求解模型]

依據所建立模型的特點，歸屬（哪個數學分支）尋求其求解方法。由此，可得到：

通過二次函數求最值，即可得：當x=25時，包間定價為135元，y取最大值13668.75（元）。

[討論與驗證]

所謂檢驗是將數學上分析結果返回到實際問題中，并用實際現象或數據與模型計算出的結果進行比較，檢驗模型的合理性和適用性。

（1）驗證得出，此收入在各種已知定價對應的收入中是最大的。如果為了便于管理，則定價為140元也是可以的，因為此時它與最高收入只差18.75元。

（2）如果定價為180元，下訂率則為45%，其收入就只有12150元，所以假設（1）是合理的。

3.結合專題討論與建模法研究。我們可選取合適的建模專題，比如“代數法建模”、“圖解法建模”等，通過探討、剖析和研究，了解并掌握一些數學建模的重要思想及基本方法。還可以讓學生通過對平常生活的觀察選取實際問題進行建模練習，從而嘗到數學建模成功的“成就感”和難于解決的“不易感”，進而拓寬視野、增長知識、積累經驗。

三、強化建模意識，培養創新思維

在眾多的思維活動之中，創新思維屬于最高層次的思維活動。它具有開拓性、創造性的特點。因此，培養學生創新思維的過程主要有三點基本要求。首先，積極對待周圍的事物；接著，勇于提出問題；然后，巧于聯想，善于理論聯系實際。因而，培養學生建模意識，實際上是培養學生的創造性思維能力，其不僅有一定的理論性，還有實質性的實踐活動。同時，在建模活動過程中，思維應具有深刻性和靈活性。

1.以“建模”為基點，培養直覺思維。在數學史中，我們不難發現，直覺思維促使了不少的數學發現，比如哥德巴赫猜想、歐拉定理等，這些都是在觀察、比較、領悟中發現的。而通過數學建模教學，可以促使學生具有獨特的見解和不同一般的思考方法。當然，這就要求在教學中盡量培養學生敏銳的觀察能力和想象能力。

2.以“建模”為介質，培養轉換能力。數學建模，其實就是把實際問題轉換成為數學問題。所以，如果在數學教學中能夠注重轉化，則對培養學生思維的靈活性、創新性乃至提高解題速度都是有顯著作用的。對“建模”的進一步研究，無疑會激起學生學習數學的主動性，且能發展學生的創造性思維能力，并養成善于發現問題，獨立思考的習慣。

3.以“建模”為載體，培養創新能力。“建模”即構造模型，這不是一件輕而易舉的事，必須具備較強的構造能力。而構造能力又制約著創造性思維及創造能力。可見，在數學教學中，構建學生的數學建模意識與培養學生的創造性思維能力緊密相關。所以，在教學中，我們應細心觀察，精巧設計，可以把一些看似繁雜抽象的問題，去偽存真，從而構造出最基本的數學模型，培養學生的創新能力。

總之，要讓學生解析和解決問題的能力得到質的飛躍，真正提高其數學應用能力，學到確實有用的數學，就應該堅持以學生為主體，充分調動學生的主觀能動性，開展切合學生實際的建模教學。

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