一個世界數學團體錦標賽試題的多向開發

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(衢州市第一中學 浙江衢州 324000)

●楊樟松

(衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

●李世杰

(衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002)

首屆(2010年)世界數學團體錦標賽青年組個人賽第3輪的第1題為：

設x,y是正實數，且滿足

則xy=______.

文獻[1]對此題的演變作了有意義的探究，我們讀后很受啟發.筆者利用文獻[2]和文獻[3]中研究區域圖形的方法,對此題作了進一步的開發.

1 將條件中的等式改為不等式

問題1設x,y是正實數，且滿足

(1)

則xy需滿足什么條件？

易知f(x)是減函數，且f(x)>1.

由此得到：

結論1設x,y是正實數，且滿足

則xy≤1.

2 問題的演變

類似結論1，可得以下結論：

結論2設x,y是正實數，且滿足

則xy>1.

結論3設x,y是正實數，且滿足

則xy=1.

結論4設x,y是正實數，且滿足

則xy<1.

結論1～4可推廣為：

結論5設a,b是正常數，x,y是正實數，且滿足

則xy≤ab.

結論6設x,y是正實數，且滿足

則xy>ab.

結論7設x,y是正實數，且滿足

則xy=ab.

結論8設a,b是正常數，x,y是正實數，且滿足

則xy

3 幾個類似結論

(1)局部字母變換.

在不等式(1)的條件中，局部交換x,y,得

問題2設x,y是正實數，且滿足

則xy與1的大小關系如何？

分析當x,y是正實數時，作出不等式xy≤1的解集區域，用F(圖1中向左下方傾斜的線段標出的陰影區域Ⅰ在第一象限部分)表示；不等式

的解集區域用G(圖1中向右下方傾斜的線段標出的陰影區域Ⅱ在第一象限部分)表示.由圖1可知G?F,從而得到結論9.

圖1 圖2

結論9設x,y是正實數，且滿足

則xy≤1.

猜想1設x,y是正實數，n是大于1的整數，且滿足

則xy≤1.

結論10設x,y是正實數，且滿足

若xy≤1,則x+y≤2.

問題3設x,y是正實數，且滿足

則xy與1的大小關系如何？

分析當x,y是正實數時，作出不等式xy≤1的解集區域，用F(圖3中區域Ⅰ在第一象限部分)表示；不等式

的解集區域用G(圖3中區域Ⅱ在第一象限部分)表示.由圖3知G?F,從而得到結論11.

圖3 圖4

結論11設x,y是正實數，且滿足

則xy≤1.

注(1)當x,y是正實數時，作出不等式xy≤1的解集區域,用F(圖4中區域Ⅰ在第一象限部分)表示；不等式

的解集區域用G(圖4中區域Ⅱ在第一象限部分)表示.由圖4可知G?F,從而得到結論12.

結論12設x,y是正實數，且滿足

圖5

則xy≤1.

(2)當x,y是正實數時，作出不等式xy≤1的解集區域，用F(圖5中區域Ⅰ在第一象限部分)表示；作出不等式

的解集區域用G(圖5中區域Ⅱ在第一象限部分)表示.由圖5中可知G?F,從而得到結論13.

結論13設x,y是正實數，且滿足

則xy≤1.

猜想2設x,y是正實數，n是大于1的整數，且滿足

則xy≤1.

f(x)f(y)=a?xy=b，

f(x)f(y)>a?xy>b，

f(x)f(y)

都成立的正常數對a,b惟一存在.

至于猜想2～3中不等式的代數證明，有興趣的讀者可作進一步研究.

(2)局部改變符號.

在不等式(1)的條件中，改變局部的運算符號，得

問題4設x,y是正實數，且滿足

則xy需滿足什么條件？

因此

所給不等式即

結論14設x,y是正實數，且滿足

則xy≥1.

類似地，可探究得到：

結論15設x,y是正實數，且滿足

則xy≤1.

圖6

分析當x,y是正實數時，作出不等式xy≤1的解集區域,用F(圖6中區域Ⅰ在第一象限部分)表示；作出不等式

的解集區域用G(圖6中區域Ⅱ在第一象限部分)表示.由圖6中可知G?F,,故結論15成立.

結論16設x,y是正實數，且滿足xy≤1，則

分析當x,y是正實數時，作出不等式xy≤1的解集區域,用G(圖7中區域Ⅰ)表示；不等式

的解集區域用F(圖7中區域Ⅱ)表示.由圖7中可知G?F,故結論16成立.

圖7 圖8

(3)改變局部結構.

若不等式(1)根號下的1，分別用y4,x4替換，則可得到問題5.

問題5設x,y是正實數，且滿足

則xy≥1成立嗎？

結論17設x,y是正實數，且滿足

則xy≥1.

分析在第一象限,作出不等式xy≥1的解集區域，用F(圖8中區域Ⅰ)表示；作出不等式

的解集區域，用G(圖8中線段重疊部分)表示.由圖8可知G?F,故結論17成立.

還可以推出很多結論,在此不一一列舉.最后需要指出的是:本文中采用“解集覆蓋”的方法,探究新不等式的效率非常高,這是一種全新的數學直觀發現方法，值得進一步研究.

(注：本文是衢州市教育科學2014年度重點規劃課題(編號：QZ14005)的階段性成果.)

參 考 文 獻

[1] 錢旭鋒,李建潮.2010年世界數學團體錦標賽一個方程問題的演變[J].中學數學月刊,2012(5):65.

[2] 李世杰,李盛.區域圖形的對稱性[J].中學教研(數學)，2013(1):26-30.

[3] 李世杰,李盛.區域圖案的周期性[J].中學教研(數學)，2014(1):32-34.