敢于拓展延伸 才有精彩紛呈
——對一道數(shù)學(xué)聯(lián)考題的探究

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(新登中學(xué) 浙江富陽 311404)

●虞關(guān)壽

(魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

考題是命題者慎重考慮、精心打磨而成的結(jié)晶.一道好的試題不僅能考查學(xué)生對知識的掌握程度，更能考查學(xué)生的能力.考題中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，對今后處理問題有廣泛的輻射功能和很強的示范作用.因此重視對考題的研究，探索問題的本質(zhì)是習(xí)題教學(xué)的首要任務(wù)之一.

1 考題展示

例1已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，|PF|=4．

(1)求拋物線的方程；

(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)(其中yi≤0,i=1,2)是拋物線上的2個點，∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB的面積最大時直線AB的方程．

(浙江省五校2013屆高三下第二次聯(lián)考文科試題)

2 基本解法

解(1)易求得拋物線方程為y2=8x(過程略).

(2)由第(1)小題知點P的坐標為P(2，4)，因為∠APB的角平分線與x軸垂直，所以PA，PB的傾斜角互補，即PA，PB的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線PA的斜率為k，則PA的方程為

y-4=k(x-2)，

ky2-8y+32-16k=0.(1)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則4,y1是方程(1)的2個根，故

即

同理可得

易知

于是設(shè)直線AB的方程為y=-x+b，把x=-y+b代入拋物線方程得y2+8y-8b=0，由題意Δ=64+32b>0,又y1y2=-8b≥0,得

-2

設(shè)b+2=t∈(0,2],則

(b+2)(b2-12b+36)=t3-16t2+64t,

記f(t)=t3-16t2+64t,則

f′(t)=3t2-32t+64=(3t-8)(t-8).

由t∈(0,2]，知

f′(t)>0,

即f(t)在t∈(0,2]上為增函數(shù)，因此

f(t)max=f(2)=72,

從而

當且僅當b=0時，直線AB的方程為x+y=0.

如果解完題目就萬事大吉，就甚是可惜，應(yīng)靜下心來好好反思、回顧解題過程,挖掘試題背后有價值的東西.

3 命題拓展與延伸

問題1已知P(x0,y0)(其中y0≠0)是拋物線y2=2px(其中p>0)上一定點，又設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上的2個點，∠APB的角平分線與x軸垂直，直線AB的斜率為定值嗎？與P(x0,y0)(其中y0≠0)處切線的斜率有何關(guān)系？

由例1知，PA，PB的傾斜角互補，即PA，PB的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線PA的斜率為k，則PA的方程為

y-y0=k(x-x0)，

ky2-2py+2py0-2pkx0=0.(2)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y0,y1是方程(2)的2個根，故

即

同理可得

因為點P是拋物線上的一點,所以易知過點P的切線方程為

y0y=p(x+x0),

設(shè)P(x0,y0)(其中y0≠0)是拋物線y2=2px(其中p>0)上一定點，設(shè)點A,B是拋物線上異于P的2個動點.若kPA+kPB=0，則直線AB的斜率為定值，且此定值與過定點P切線的斜率互為相反數(shù).

分析因為∠APB的角平分線與x軸垂直，所以PA，PB的傾斜角互補，即PA，PB的斜率互為相反數(shù)，亦即kPA=-kPB.若PA的斜率為k，則PB的斜率為-k.

解設(shè)P(x0,y0),PA的斜率為k，則PA的方程可設(shè)為

y-y0=k(x-x0),

即

y=kx+y0-kx0，

與橢圓方程聯(lián)立可解得點A的坐標

即 (a2k2+b2)x2+(2a2ky0-2a2k2x0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

(3)

由于直線與橢圓有2個交點，設(shè)2個交點的坐標為A(xA,yA),B(xB,yB),則

即

代入直線PA的方程可得

計算點B的坐標時，可以通過類比的思想，只要將點A坐標中的k換成-k即得點B的坐標

于是又有下面結(jié)論：

同理可得該結(jié)論在雙曲線上也成立：

通過以上的延伸與探求，可得如下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)P是圓錐曲線C上與圓錐曲線頂點不重合的一點，過點P作2條不同的直線PA，PB，分別交圓錐曲線C于點A，B.若kPA+kPB=0，則直線AB的斜率與圓錐曲線C在點P處的切線斜率互為相反數(shù).

問題3設(shè)P是圓錐曲線C上與圓錐曲線頂點不重合的一點，過點P作2條不同的直線PA，PB，分別交圓錐曲線C于點A，B.若直線AB的斜率與圓錐曲線C在P點處切線斜率互為相反數(shù)，則是否有kPA+kPB=0成立？

下面以拋物線為例作探求：

設(shè)拋物線方程為y2=2px，P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2),直線PA的斜率為k1，則直線PA的方程為

y-y0=k1(x-x0).

k1y2-2py+2py0-2pk1x0=0，

易知y1,y0是方程的2個根，于是

即

同理，設(shè)直線PB的斜率為k2，可得

從而

因為過點P的切線方程為

y0y=p(x+x0)，

且

y0≠0,

即

y1+y2=-2y0，

于是

化簡得k1+k2=0,命題成立.

同樣可對橢圓與雙曲線作相同的探求，命題仍成立,即可得出如下的一個性質(zhì)：

性質(zhì)2設(shè)P是圓錐曲線C上與圓錐曲線頂點不重合的一點，過點P作2條不同的直線PA，PB，分別交圓錐曲線C于點A，B.若直線AB的斜率與圓錐曲線C在點P處切線斜率互為相反數(shù)，則kPA+kPB=0.

把以上2個性質(zhì)寫在一起，可得以下一個基本事實：

結(jié)論3設(shè)P是圓錐曲線C上與圓錐曲線頂點不重合的一點，過點P作2條不同的直線PA，PB，分別交圓錐曲線C于點A，B,則kPA+kPB=0成立的充要條件是直線AB的斜率與圓錐曲線C在點P處的切線斜率互為相反數(shù).

以上的問題中，有一個共同的條件是點P在圓錐曲線上，若把點P放到圓錐曲線外部或內(nèi)部，情況又如何呢？

問題4點P是不在圓錐曲線Γ上的一點，過點P作不同的直線PA和PB，分別交圓錐曲線Γ于A,C和B,D，且A,C,B,D這4個點中任意2個點所在直線的斜率都存在，則kPA+kPB=0的充要條件是否為kAB+kCD=0？

下以橢圓為例進行探析：

必要性設(shè)直線PA的方程為y=k(x-x0)+y0，直線PB的方程為y=-k(x-x0)+y0,設(shè)t=y0-kx0，則

2y0-t=y0+kx0.

將直線PA的方程代入曲線Γ的方程得

(n+mk2)x2+2kmtx+mt2-mn=0,

則

同理可得

要證明kAB+kCD=0，又

因此只需證明

(yA-yB)(xC-xD)+(yC-yD)(xA-xB)=0.

由于P,A,B不共線，故k≠0,從而

(yA-yB)(xC-xD)+(yC-yD)(xA-xB)=0

? (xA+xB-2x0)(xC-xD)+(xC+xD-2x0)

(xA-xB)=0

?xAxC-xBxD-x0(xA+xC-xB-xD)=0

?t-y0=-kx0，

必要性得證.

充分性若kAB=kCD=0,則直線AB,CD都和x軸平行，即直線AC和直線BD關(guān)于y軸對稱，故結(jié)論成立.若直線AB不和x軸平行，則直線CD和直線AB必相交，可設(shè)交點為K，由必要性的證明可知，充分性得證.

對于曲線為雙曲線和拋物線的情況證明方法類似，不作贅述.由此又可得如下的一個性質(zhì).

性質(zhì)3點P是不在圓錐曲線Γ上的一點，過P作不同的直線PA和PB，分別交圓錐曲線Γ于A,C和B,D，且A,C,B,D這4個點中任意2個點所在直線的斜率都存在，則kPA+kPB=0的充要條件是kAB+kCD=0.

4 性質(zhì)的簡單應(yīng)用

下面列舉2例體會以上性質(zhì)的應(yīng)用功能.

解設(shè)過點P的切線斜率為k，由PA1=PB1得

∠PA1B1=∠PB1A1，

故

kPA1+kPB1=0，

圖1 圖2

例3如圖2,已知拋物線C：y=ax2，點P(1,-1)在拋物線C上，過點P作斜率為k1,k2的2條直線，分別交拋物線C于異于點P的2個點A(x1,y1)，B(x2,y2),且k1+k2=0.

(1)求拋物線C的焦點坐標；

(2)因為點P的坐標是(1,-1)，所以過點P的切線方程為

即

y=-2x+1，

其斜率為k=-2，由于k1+k2=0，故由性質(zhì)1可知kAB=2.設(shè)M(x,y)，A(x1,y2)，B(x2,y2),則

(x1-x2)(x1+x2)=-(y1-y2)，

故

即

x=-1.

因為直線PA,PB與拋物線C相交，所以

k1≠-2,k2≠2.

又因為A,B是相異的2個點，所以

k1≠0,k2≠0，

故

y<-1且y≠-5,

即所求M的軌跡方程為：x=-1(y<-1且y≠-5).