一份特別的數學初高中銜接學習范式

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(浙江師范大學附屬中學 浙江金華 321004)

對于剛剛跨出初中校門的學生來說，心中既有解脫，又有擔憂，更有期待.解脫的是終于脫離初三的應試訓練，擔憂的是不知道自己能否適應高中的學習，期待的是高中全新的知識、全新的教師和全新的同學.

初高中銜接就顯得極其重要，既要讓學生做一些感興趣的事，擺脫知識的枯燥乏味，擺脫課堂的束縛；又要與學科知識有機結合，完成知識的銜接，為高中學習充電；更帶有一定的挑戰性，激發學習的自主性，養成良好的學習習慣.

初高中數學的銜接，關鍵是能給學生提供一份范式，將知識、能力、探究有機融合，讓學生去做富有挑戰性和創造性的探索.筆者為即將進入高一的學生準備了一份暑假作業范式.

德國數學家高斯說過“數學是科學的皇后”，她的美麗與神秘吸引著我們不斷去探索數學的奧妙.那一個個奇妙的數字，那一個個有趣的符號，都是幫助我們開啟科學大門的金鑰匙.數學來于生活，又用于生活.應用題巧妙地將生活與數學融為一體，以它獨特的方式告訴人們生活里處處都有數學.口算、遞等式、速算和巧算無不挑戰著你我的智慧.在初中階段你學習了函數、幾何、統計與概率等基本知識和常用的邏輯推理方法.到了高中，你將深入學習集合、函數、數列、三角函數與解三角形、平面向量、不等式、空間立體幾何、解析幾何、概率統計、導數、復數等.科學的皇后是美麗的,讓我們攜手暢游在科學的海洋里，去揭開這位皇后神秘的面紗，共同探索數學的奧妙吧！

1 認識篇——我的數學我了解

初、高中數學斷層的知識內容：

(1)絕對值(絕對值符號內不含字母，不用分類討論，而高中數學分類討論成習慣);

(2)因式分解(十字相乘法已不作要求，但在高中是最簡單的求根方法);

(3)一元二次方程(韋達定理已不作為初中數學的要求，但在高中卻是解題常用定理);

(4)二次函數(初中沒有區域限制，但在高中卻要研究條件限制下的最值問題);

(5)三角形中的有關概念(初中沒有重心與垂心的概念，在高中幾何中是常見的).

以上高中數學中的常見知識，在初中數學中卻不作要求，因此有必要做好銜接工作，不能輸在起跑線上！

2 反思篇——我的數學我清楚

問題1為什么很多題目聽懂了，但換個角度、換個條件、換個平臺，我還是沒有能力解決？

問題2若你感覺數學難，難在哪里？你想通過什么途徑克服對數學的恐懼？

問題3你希望高中數學老師能在哪些方面給你幫助？

3 探究篇——我的數學我做主

根據對一元二次方程根與系數的關系即韋達定理作一個示范性探究，體驗數學的奧妙與真諦：

一元二次方程不論是在初中數學還是在高中數學中都是一個極為重要的內容，尤其是判別式和韋達定理的應用更是廣泛.

(1)判別式.

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況可以由b2-4ac來判定，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．

(2)韋達定理.

探究問題1一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0)的根的情況有哪幾種？

變式訓練1關于x的方程x2-ax+(a-1)=0一定有根嗎？為什么？

變式訓練2若關于x的方程x2-ax+4=0有不同的實數根，求a的取值范圍.

探究問題2韋達定理的使用探究.

使用韋達定理的前提條件是什么？

只有在有根的情形下，才可以使用.

例1若x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x-1=0的2個根．

分析由韋達定理得

變式訓練1求下列式子的值：

(1)(x1-x2)2=________;

變式訓練2若關于x的方程x2-ax=0有不同的2個正實數根，求a的取值范圍.

變式訓練3若關于x的方程x2-ax+4=0有不同的2個負實數根，求a的取值范圍.

變式訓練4若關于x的方程x2-x-a=0有一正和一負實數根，求a的取值范圍.

通過上面的基本練習，你對韋達定理能基本應用了.現在我們換個角度、換個平臺對同樣的問題進行探究.

探究問題3一元二次方程的根與對應的一元二次函數的圖像有什么關系呢？

方程的根即為對應函數圖像與x軸的交點的橫坐標.

能力提升已知函數y=x2-2(m+1)x+m2+2m.

(1)求證：函數圖像與x軸恒有2個交點A,B；

(2)求|AB|(或點A和點B間的距離).

探究問題4若把條件和結論對調，則問題變為：關于x的方程x2+4x+m=0的2個根x1，x2滿足|x1-x2|=2，求實數m的值．你可以完成嗎？

感想與初中數學相比，高中數學無論是知識的深度、廣度，還是能力要求，都是一次飛躍．高中數學中有很多內容難度大、方法新、分析能力要求高，需要有變化的思維，更需要我們的思維活動要“活”、要“多角度”考慮，要能“概括”、“類比”、“聯想”、“抽象”等等.

4 鞏固篇——我的數學能完善

任務二次函數是高中與初中數學聯系最緊密的知識之一.下面提供這部分內容的探究線索，獨立完成該內容的探究.

引入畫出函數y=x2-4x+3的圖像，指出函數的增減性，并根據圖像指出函數何時取到最值.

變式訓練1如果x的取值范圍為1≤x≤5，那么前面的回答發生了怎樣的變化？

變式訓練2如果x的取值范圍為-1≤x≤5，那么前面的回答發生了怎樣的變化？

變式訓練3如果x的取值范圍為-1≤x≤7，那么前面的回答發生了怎樣的變化？

變式訓練4若x的取值范圍為-1≤x≤a且函數的最大值為8，求a的取值范圍？

變式訓練5若x的取值范圍為a≤x≤7且函數的最小值為-1，求a的取值范圍？

數學的變式趣味無窮，你還可以換個角度給自己命題，你能出一道題目給大家看看嗎？

能力提升下面的題目是考查前面知識的靈活運用程度，你能完成嗎？

(1)已知y=x2+2(a-1)x+2在x≤4上隨x的增大而減小，求實數a的取值范圍．

(2)若函數y=-x2-2ax(其中0≤x≤1)的最大值為a2，求實數a的取值范圍.

變式教學是高中數學的常規教學方法之一，在變化中不斷訓練我們的思維，拓展我們的思維空間，激發創新意識，充分發揮學生的主觀能動性.讓你真正感受數學的美、數學的魅力.

5 期望篇——我的數學也美妙

初、高中數學的內容斷層還有：十字相乘法、因式分解、立方和(差)公式的運用、三角形的四心(內心、外心、重心、垂心)等，你可以模仿前面的探究方法，試著培養自己的自主學習能力，結合初中課本，搜索相關內容，完成對上面內容的編題、解題，以及對此內容的理解.