三角形所在平面上一點的向量式

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(福州第二十四中學 福建福州 350015)

本文給出一個三角形所在平面上一點的向量式，并說明其應用.

設P為直線AD上的點，滿足

(1)

(2)

式(1)-式(2),得

即

該定理也可以用解析幾何的方法進行證明(略).由解析法可以得到：設△ABC的3個頂點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，點D,E,F分別在邊BC,CA,AB所在的直線上(不與點A,B,C重合)，λ,u,v∈R(其中λ,u,v≠0，λ+u+v≠0)，且

則直線AD,DE,CF交于點P，其坐標為

例1設點I,O,OA,G分別為△ABC的內心、外心、與邊BC相切的旁心、垂心(不與點A,B,C重合)，則

證明(1)如圖1，設BC=a，CA=b,AB=c,直線AI與BC交于點D，直線BI與CA交于點E，直線CI與AB交于點F，則由三角形角平分線的性質，知

根據定理即得

圖1 圖2

(2)如圖2(外心O在△ABC的內部)，設直線AO與BC交于點D，直線BO與CA交于點E，直線CO與AB交于點F，則

根據定理即得

當外心O在△ABC的外部時，上式也成立，證法類似(略).

(3)如圖3，設BC=a,CA=b,AB=c，直線AOA與BC交于點D，直線BOA與CA交于點E，直線COA與AB交于點F，則由三角形外角平分線的性質，知

根據定理即得

圖3 圖4

(4)如圖4(垂心G在△ABC的內部)，設BC=a,CA=b,AB=c，直線AG與BC交于點D，直線BG與CA交于點E，直線CG與AB交于點F，則

同理可得

根據定理即得

當垂心G在△ABC的外部時，上式也成立，證法類似(略).

例2設△ABC外接圓的圓心為O,半徑為R，內切圓的圓心為I，半徑為r，且BC=a，CA=b,AB=c,則OI2=R2-2Rr.

證明由△ABC內切圓的圓心為I，知

即

將上式2邊平方，并應用余弦公式，得

同時注意到OA2=OB2=OC2=R2，于是

亦即 (a2+b2+c2)R2+[bc(2R2-a2)+

整理得

(a+b+c)2R2-abc(a+b+c)=(a+b+c)·OI2,

即

因此

OI2=R2-2Rr.

例3設O為△ABC內任意一點，直線AO，BO，CO與邊BC，CA，AB分別交于點P，Q，R，若BC=a為最大邊，則

|OP|+|OQ|+|OR|

證明由于AP，BQ，CR過同一點O，由塞瓦定理知

(3)

(4)

(5)

將式(3)，式(4)代入式(5)，整理得

于是

注意到BC=a為最大邊，因此

|OP|+|OQ|+|OR|<

注(1)用類似方法還可以得到|OA|+|OB|+|OC|<2a.

(2)用類似方法可將例3的結論向n維空間單形推廣：設O為n維空間單形A1A2…An+1內任意一點，直線AiO(其中i=1,2,…,n+1)與頂點Ai所對的面交于點Bi(其中i=1,2,…,n+1)，a為此單形中最長的棱長，則