一道“釘子題”的多角度解法溯源

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(寧陽第一中學 山東寧陽 271400)

近幾年的高考試題中，多元最值問題悄然出現在選擇題或填空題的把關題中，這類問題考查知識面廣，涉及知識點錯綜復雜，使學生在考試中感到“入題難”，無從下手，只能“望題興嘆”，避而走之.一些優秀學生則抱著“死了都要愛”的態度,不想放棄卻最終不得不放棄，耗費大量的寶貴時間.這類問題被戲稱為“釘子題”.筆者采擷2014年一道高考試題，對其解法多角度追根溯源，意在拋磚引玉，和大家共同探討.

(2014年遼寧省數學高考理科試題第16題)

分析從題目設置來看，本題若想輕松解答，則必須要解決2個問題，即|2a+b|取得最大時說明什么？3個變量間的關系是什么？認清這2個問題也就抓住了問題的“心臟”，進而把多元最值問題轉化為我們熟悉的數學知識來解決.

1 源于教材基本不等式，警惕走過路過全錯過

解法1因為

4a2- 2ab+4b2-c=

(2a+b)2-6ab+3b2-c=0，

所以 (2a+b)2= 3b(2a-b)+c=

故

當且僅當2a=3b時取等號，此時

2 源于解析幾何思想，可謂一石激起千層浪

初探試題，其條件和問題的代數形式都不是很難，可入手卻非常困難，看到|2a+b|的代數形式容易聯想到線性規劃中的截距形式：z=2a+b，可又糾結于可行域4a2-2ab+4b2=c是什么樣子的．在現在的考綱中，圓錐曲線的要求不是很高，學生只需研究中心在原點的圓錐曲線就行了，因此學生不知道它代表什么曲線，需要采用“代數換元”轉換法來揭開題目的神秘面紗，讓多元問題“現出原形”.

令a=x+y，b=x-y，此時

2a+b=3x+y，

則原方程可化簡為

在人教A版《數學選修4-5》不等式選講中，教材介紹了二維形式的柯西不等式，即若a,b,c,d都是實數，則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，

當且僅當ad=bc時，等號成立.

解法2通過以上分析，知

(3x+y)2≤

當且僅當x=5y時,

此時

a=6y，b=4y,c=160y2，

96x2-60zx+10z2-c=0,(1)

Δ=3 600z2-384(10z2-c)≥0,

解得

即

從而

故

當|2a+b|取得最大值時Δ=0，由式(1)解得

又a=x+y，b=x-y，故

3 源于最基本的數學思想，感嘆萬變卻不離其“宗”

已知的條件方程是三元二次方程，相對我們熟悉的一元二次方程多了2個變量，緊緊抓住“|2a+b|何時取得最大值”這一關鍵元素，視2a+b為整體，采用整體換元，運用多元問題的一般處理方法——消元思想，可大大降低思考的難度．

解法4由題意顯然當ab>0時，|2a+b|取得最大值，設2a+b=t，即b=t-2a，代入條件方程得

24a2-18at+4t2-c=0，

因此

Δ=-60t2+96c≥0，

故

即

2邊平方得

代入4a2-2ab+4b2=c得

(2a-3b)2=0，

即

2a=3b.

不妨設a=3m，b=2m，則c=40m2，故

此時

4 源于過往試題改編，體味“前緣未盡今生情”

以上解法溯源，我們均可以看到通過思考|2a+b|取得最大值時的條件，來探究3個變量a,b,c的關系，尋找到三元的關系，此題豁然開朗.但究其目的仍是消元思想，這是此題數學本質的體現，應當對這類多元問題引起重視.那么此題難道是空穴來風嗎？下面我們通過一道高考試題來看看命題專家對此類問題的演繹.

例2設x,y為實數，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為______.

(2011年浙江省數學高考理科試題第16題)

分析雖然此題明示了2個變量間的關系，從條件入手仍感覺較為困難.如果令2x+y=t，即y=t-2x，那么4x2+y2+xy=1可化為

6x2-3tx+t2-1=0，

由于該方程有解，因此

Δ=-15t2+24≥0，

5 源于三角函數問題，品味酒香不怕巷子深

研究|2a+b|的最大值，容易判定a,b同號時才有可能取得最大，不妨設a>0,b>0，條件方程中含有．條件方程中的“a2+b2”和“ab”這2個元素,其實是我們非常熟悉的代數表達形式，結合條件，可以聯想到余弦定理中這樣的格式，如：a2+b2-2abcosC=c2.

圖1

解法5原題條件方程可化為

因此

從而

又 2sinA+sinB= 2sinA+sin(A+C)=

此時

-2,

評注尋根溯源后發現，原來這道題目也是由三角形中的問題演變而來，命題專家對此題的多角度理解真是讓人拍案叫絕，有種知其然且知其所以然的感覺.

6 關于本題命制值得商榷的問題

已知條件中，非零實數a,b滿足的方程可化為

4a2-2ab+4b2=c，

Δ=(-2b)2-64b2=-60b2<0

恒成立，則f(a)恒大于0，c>0顯然成立！此條件是a,b非零的必要條件，c>0的條件完全可以去掉.戴再平教授在《數學習題理論》中曾提出，數學習題的條件必須是獨立的、最少的，即不應有重復的、多余的、過剩的條件.但出于命題者的試題考查目的，考慮到學生的接受能力，為了降低題目難度，可以允許一些條件保留，這是筆者認為多余條件允許存在的唯一理由.這一問題僅是筆者個人愚見，值得商榷.

因勢利導，給出解法6.

解法6由題意,知4a2-2ab+4b2-c=0可化為

則

即

7 教學啟示

教師認識數學問題的高度決定了學生認識問題的高度.為了培養創新型的學生，我們應做一個研究型的教師,許多數學問題值得我們研究、開發.教師要有問題意識，對原問題進行廣泛聯想，運用合情推理、一般化、類比等方法.分析一個問題就好像通過一道門戶，進入一個完整的理論領域，長此以往，必能提高我們的專業素養.

讓學生充分體驗“做數學”的過程還要靠教師的引導做保障.教師對學生的引導要體現思維的一般規律性，因勢利導地引發學生思考那些不在預設范圍內的想法.如解法1，很多學生能聯想到基本不等式，但因種種原因尋找不到解題途徑，此時，教師不應盲目舍去這一解法，而應積極推動問題的解決.教師應當鼓勵學生勇于嘗試、探索，這其實就是培養學生創新、學以致用的過程，不容忽視！

教學貴在自然、本質，學習意在簡單、深刻.數學問題的本質是思維活動，思維活動中最富有創新的是對問題的探究，問題的提出不在于正不正確，關鍵在于是否能抓住問題的“心臟”，這樣才不會在問題的邊緣迂回.知識是自然獲得的，而不是幡然醒悟的，只有抓住了問題的“心臟”，沿著學生的思維路線探究、生成，這樣的解題或教學才能和諧高效，才能取得教學的長期效益.

參 考 文 獻

[1] 戴再平.數學習題理論[M].2版.上海：上海教育出版社，1996.