反思引發探究 探究帶來驚喜

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(如皋市第一中學 江蘇如皋 226500)

“學起于思，思源于疑”，質疑是反思的基礎，反思是質疑的深化.高中數學教學中，當解完一道題后，教師應引領學生進行有效的反思，反思解題過程的方方面面.反思過程中不對學生的反思作任何限制，充分保護學生反思的積極性，鼓勵學生對自己的想法進行探究，從解題過程中產生更多的思考，從成敗中品味數學的苦與樂.長期堅持下來，學生就會形成反思的好習慣，也會形成適合自己的一套反思方法，學生分析、解決問題的能力就會在不知不覺中得到提高.下面謹以教學過程中一道聯考題的反思引發的探究為例，把探究帶來的驚喜與大家共享.

(1)求證：點C在一個橢圓上運動，并求出該橢圓的標準方程.

(2)設直線l:mx+2ny-2=0.

①判斷直線l與第(1)小題中橢圓的位置關系，并說明理由；

②過點A作直線l的垂線，垂足為點H，證明：點H在定圓上，并求出該定圓的方程.

(2014年江蘇省重點高中高三聯考試題)

(m2+2n2)x2-4mx+4(1-n2)=0，

判別式Δ= 16m2-16(m2+2n2)(1-n2)=

②猜想：若點H在定圓P上，則當點C在(0，1)時，H(-1，1)；當點C在(0，-1)時，H(-1，-1),故圓心P必在x軸上.

其中2n2=2-m2，則

因此點H在定圓x2+y2=2上．

反思1第(2)小題中第①題直線l與第(1)小題中的橢圓相切.在直線與圓中，切線與圓心和切點連線的斜率乘積為-1，那么橢圓上任一點處的切線與中心和切點連線的斜率乘積為多少呢？是否也是定值？

反思3第(2)小題中第②題參考答案中通過特殊點探索出定圓的圓心及半徑，從而為下面一般性的證明指明了方向.如果沒能通過特殊位置找出定圓，該如何把握計算方向呢？有沒有其他計算方法可以求出定圓？

因為點C(m，n)在橢圓上，所以m2+2n2=2，將m，n代入化簡可得x2+y2=2.

反思4上述2種計算方法的目標都是找出題意中的直接關系，采用了不同的消去途徑，思路清晰但計算均比較繁瑣，有沒有其他簡單的消去方法？

再將這2個式子平方相加，可得

(m2+4n2)x2+(m2+4n2)y2=4(1+n2),

將m2+2n2=2代入，得

(2+2n2)x2+(2+2n2)y2=4(1+n2),

從而

x2+y2=2.

這種整體消去法簡化了思維，避免了繁雜的運算.解題過程中達到目標的途徑有多種，要將多種方法進行比較，從中優選方法，方可避免復雜的運算.

反思5第②題最終的定圓為x2+y2=2，而橢圓的長半軸長的平方也為2，即x2+y2=a2，這是一種巧合，還是一種必然？結合此題的圖形聯想到非常類似的一道軌跡題：

圖1 圖2

結合此題筆者產生一個大膽的想法：難道此題中的切線為角的外角平分線嗎？若是，則此題可模仿上題采用定義法求出定圓方程.筆者對一般情況進行了大膽地推理與證明，如下：

證法1(直接證法)延長直線AC和BC，傾斜角及直線的夾角如圖2所示.根據對稱性不妨設點C位于第一象限，由題意可知

結合圖形可得

α=θ+(π-γ),β=γ-φ,

因為點C(m,n)在橢圓上，可得

即

b2m2+a2n2=a2b2,

所以

因為點C(m,n)在橢圓上，可得

即

b2m2+a2n2=a2b2，

所以

圖3

證法2(間接證法)由于一個角的內角平分線與外角平分線互相垂直，因此要證明直線l為∠ACB的外角平分線，只需證明直線l與∠ACB的內角平分線垂直即可.

為此，設∠ACB的內角平分線為CE(如圖3)，且交x軸于點E.設點E坐標為(t,0)，由角平分線的性質定理可得

即

從而

由焦半徑公式可得

即

kl·kCE=-1,

即

l⊥CE,

可得直線l為∠ACB的外角平分線.

通過上述2種證法可知橢圓上任一點處的切線即為該點對兩焦點張角的外角平分線，由外角平分線及切線的唯一性可得：橢圓上任一點對兩焦點張角的外角平分線也是橢圓上該點處的切線.

反思是對思維過程、思維結果進行再認識的檢驗過程.世界著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾教授指出：“反思是數學思維活動的核心和動力.”“沒有反思，學生的理解水平不可能從一個水平升華到更高的水平.”可見，反思在數學學習中非常重要.通過反思學習可以幫助學生學會學習，可以使學生的學習成為探究性、研究性的活動，也可以增強學生的能力，提高學生的創造力，促進他們的全面發展.因此，在教學中，教師應該重視學生的反思學習，積極創造反思條件，引導學生自覺反思，由反思引發探究，從而為數學的學習帶來更多的驚喜.