不等式恒成立問題參數范圍的確定

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(黃灣中學 安徽靈璧 234213)

對于不等式恒成立問題，參數范圍的確定是一種較為常見的問題，主要表現為以下幾類：(1)在給定區間上不等式恒成立；(2)不等式的解集為全體實數；(3)解析式的值恒大于(等于或小于)某值；(4)函數的定義域為全體實數.由于此類問題知識覆蓋面較廣，綜合性很強，對解題的靈活性要求高，因此對學生來說有較大的難度.其實，若能靈活利用知識，對于不等式恒成立問題，其參數范圍還是容易確定的.

1 利用一次函數的保號性

若原題可轉化為一次函數型，則可利用一次函數的保號性求解，過程將會變得簡捷.

例1已知y=(log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1>0(其中a>0,a≠1)，當x∈[1,2]時，y的值恒為正，求b的取值范圍.

解由

y= (log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1=

[(logab)2-6logab+1]log2x-(logab)2+1.

設t=log2x，x∈[1,2]，則

y=f(t)=[(logab)2-6logab+1]t-(logab)2+1，

其中t∈[0,1]，于是該問題轉化為當t∈[0,1]時，f(t)>0恒成立，求b的取值范圍.由

解得

故當a>1時，

當0

即

亦即

從而

解得

2 利用二次函數的判別式

例3不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

解(1)當a=1時，-1<0，不等式恒成立；當a=-1時，不等式對x∈R不恒成立.

(2)當a2-1≠0時，有

解得

綜上可得

( )

A.-7 B.6 C.7 D.8

2-ax-x2<3(1-x+x2)，

即4x2+(a-3)x+1>0對任意x∈R恒成立，故

Δ=(a-3)2-16<0，

解得

-1

由題意知t1+t2=-1+7=6.故選B.

3 分離參數利用函數的最值

若原題較容易分離出變量，而令一邊為常見函數，則可轉化為這些常見函數的最值問題求解.

例5若不等式sin2x+2acosx-a2+2a-3<0對任意實數x∈R恒成立，求a的取值范圍.

解原不等式可化為

cos2x-2acosx+a2-2a+2>0,

設t=cosx，則

f(t)=t2-2at+a2-2a+2=

(t-a)2-2a+2，

其中t∈[-1,1]，從而問題等價轉化為f(t)>0在t∈[-1,1]上恒成立，即f(t)在t∈[-1,1]上的最小值大于0.

于是a的取值范圍為(-∞,1)∪(3,+∞).

例6設函數f(x)=ax2-2x+2對10，求實數a的取值范圍.

解由題設得

即

4 設參引元，利用函數的單調性

適當地引進新變量進行代換，可以簡化原題的結構，實現問題的轉化和變通.

解由f(x)是奇函數，知

f(-2)=-f(2)，

則

f(sin2x-msinx+m)>f(2).

又f(x)是減函數，知

sin2x-msinx+m<2,

令sinx=t，則0≤t<1，從而

t2-mt+m<2，

即

m(1-t)<2-t2，

解得

[g(t)]min=g(0)=2，

從而

m<2.

例8已知實數x,y滿足x2-2x+y2=0，求使x+y+k≥0恒成立的實數k的取值范圍.

解將x2-2x+y2=0化為

(x-1)2+y2=1.

因為

5 先探索猜測，再證明

分析本題若直接求解難度會很大，為此可從簡單情形入手：

當n=2時，滿足條件的m的取值范圍為m≤41；

當n=3時，滿足條件的m的取值范圍為m≤44；

當n=4時，滿足條件的m的取值范圍為m≤45；

……

為此有如下猜測：m的取值范圍為m≤41.

6 以形代數，化抽象為直觀

改變觀察和思考問題的角度，采用數形結合的方法求解不等式恒成立中參數的范圍，能使問題化抽象為直觀，取得避繁就簡的效果.

例10若|x+3|+|x|≥m對任意x∈R恒成立，求m的取值范圍.

分析顯然只要求得|x+3|+|x|的最小值即可，而|x+3|+|x|的幾何意義是數軸上到-3的點的距離與到原點的距離之和，此和的最小值從數軸上不難知道是3，故m≤3.

圖1

7 多法并用，一題多解

對于有些不等式恒成立求參數取值范圍的問題，由于綜合性強，涉及的知識點多，在求解時，需要綜合利用各方面的知識，找到多種求解方法.這有利于提高我們思維的靈活性和創新能力.

例12已知不等式2x2-9x+m≤0在區間[2,3]上恒成立，求m的取值范圍.

解法1(解不等式)根據題意，不等式的解集非空，Δ≥0，此時解集為

故

解得

m≤9且m≤10，

故

m≤9.

點評求出不等式的解集，根據解集與給定區間的關系列出含有參數的不等式或不等式組，從而獲解.這是一種常規思路，求解過程通常較繁瑣.

解法2(討論方程的根)根據題意，方程2x2-9x+m=0有實根，且2個根分別在區間(-∞,2]，[3,+∞)上.

設f(x)=2x2-9x+m，則f(2)≤0且f(3)≤0，從而m≤9且m≤10，故m≤9.

點評不等式的解往往與方程的根有聯系，不等式的解集中的端點常常是對應方程的根，因此當原不等式為二次不等式時，應與韋達定理、實根分布相聯系.

解法3(函數的最值)

(1)從數的角度看.

方法1設f(x)=2x2-9x+m，x∈[2,3]，問題等價于f(x)max≤0，而

得

m-9≤0，

即

m≤9.

方法2(分離參數法)問題等價于不等式m≤-2x2+9x在區間[2,3]上恒成立.

設g(x)=-2x2+9x，x∈[2,3]，則問題等價于m≤g(x)min，而

即m≤9.

(2)從形的角度看.

方法1當x∈[2,3]時，f(x)=2x2-9x+m的圖像始終不高于直線y=0，也就是函數f(x)=2x2-9x+m的圖像的最高點在直線y=0的下方或者在該直線上，即f(3)≤0，從而m≤9.

方法2(分離參數法)問題等價于不等式m≤-2x2+9x在區間[2,3]上恒成立.

點評通過對該例(最常見的恒成立問題)的一題多解，揭示了含參數不等式恒成立問題實質上體現了函數、方程、不等式之間的有機聯系.因此求解此類問題常常從不等式的解、方程的根、函數的最值這幾個方面入手，結合圖形，靈活轉化，選擇最佳解題策略.