溯源尋根 有效探究

陳相友 孫軍波

摘 要：本文以一道簡單的練習題為抓手，深入思考研究獲得一般性的結論，進而追溯至圓的性質，發現圓中的一系列“兩直線斜率乘積為定值”，類比發現橢圓中相關性質并研究. 透過有效的探究、反思、拓展，使得我們高屋建瓴，進一步領悟問題背景的本質所在及其解決策略.

關鍵詞：解析幾何；溯源；探究；反思；拓展；有效

高考試題不僅具有選拔功能，還具有很高的教學價值，在平時的教學中，如何使用高考試題是值得我們研究的問題. 本文以2011年江蘇卷第18題、2012年天津卷第19題、2013年山東卷第22題及2013年全國新課標試題為例設計了一堂地區高三復習課，對直線與圓錐曲線位置關系中一類斜率乘積為定值的問題進行解法的總結提煉，追溯問題的源頭，探求解法的本質，力求提升學生的能力.

忽視的問題

問題1：已知橢圓C：+y2=1，過橢圓上一點A（0，1）作直線l交橢圓于另一點B，點P為線段AB的中點，若直線AB、OP的斜率存在且不為零，則kAB×kOP的值為________.

分析：該題為某校模擬訓練中的一個問題，學生很快會用特殊值的思想給出答案-，如果嚴格推理，可能會考慮設l：y=kx+1，通過聯立方程來解決，不過仔細想一想，再回憶一下中點弦問題，自然也提出點差法：+y=1，+y=1 ？圯+y-y=0？圯kABkOP=-.

“點A在橢圓上”是一個易被人所忽視的一個條件，不過通過計算不難發現點A的坐標并不需要具體給出，只需要滿足點A在橢圓上，兩直線的斜率如果存在，則斜率乘積肯定為定值-，進一步推廣到橢圓C：+=1（a>b>0），這個定值就是-. 這是一個比……