從一道函數值域題看函數與方程思想

孫志業

【摘要】函數值域題是學習函數的一個重要知識點.從函數本身來說，和方程有很多相似之處，或者可以說是從方程思想開始入手，并進行解題過程.本文就通過一道函數值域題來細看函數和方程思想的關系.

【關鍵詞】函數；方程思想；數學教學

文獻中，原題是求一個函數y=x+x（2-x）的值域.作者給出了四種解法，有通法，也有精妙的構思.但筆者在看到第一種解法，即利用函數與方程的關系，將函數問題轉化為二次方程判別式問題的方法時，覺得這種解法的解釋不夠完美，不能很好地解釋函數與方程的關系.所以希望能做補充和解釋，不當之處，望各位同行批評指正.現將原解答摘抄如下：

筆者所舉例的變式解法非常多，如三角換元、導數法，或者利用“數形結合”的構造法.但本文旨在說明這種類型函數，用函數與方程的想法解題時如何避免探討非等價條件解錯值域.這里就不一一將其他方法列舉，只說明這些方法都是可行的，讀者若感興趣，可自行證明.

【參考文獻】

一道函數值域題的四種解法. 數學通訊，2013（4）.