含參數不等式解法探微

呂雙平

〔關鍵詞〕 數學教學；不等式；解答；分類討論法；端

點比較法；構造函數法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解決數學問題的主要工具，應用于數學的各個領域，也是近年來高考試題中出題比較廣泛的內容.例如，求函數的定義域和值域、求參數的取值范圍、 三角函數中角的變化范圍和解析幾何中曲線位置關系的討論等，都要用不等式來解決，所以解不等式是學生學習數學的基本能力.而含參數不等式的解法是學習的難點，本文舉例說明含參數不等式的三種解法.

分類討論法

分類討論法是將含參數不等式的題進行不同的分類，依照不同的類別進行討論的方法.在日常數學問題中，當參數在未知數最高次冪的系數上時，先對參數分類討論，在每一種情況下求出不等式的解集.

例1 解關于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式變為ax2+（a-2）x-2≥0

① 當a=0時，不等式變為-2x-2≥0，解集為{x│x≤-1}；

② 當a≠0時，將不等式變為（ax-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.設x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2時，解集為{x∣x=-1}；

若a<-2時，■<-1，解集為{x∣x≤-1或x≥■}.

端點比較法

當參數不在未知數的最高次冪系數上時，先分解因式，解出方程的根，再通過比較根的大小，討論參數范圍，求出不等式的解集.

例2 解關于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式變形為（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2時，a=0或a=1，不等式解集為？覬；

②當a1，不等式解集為{x∣a

③當a>a2時，0

綜上所述，當a<0時，不等式解集為{x∣a1時不等式解集為{x∣a

構造函數法

不等式的實質是f（x）≥0或f（x）≤0的自變量的取值范圍，所以解不等式可以通過構造函數來解.

例3 對于p∈[-2，2]的所有實數，解關于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式變為（x-1）p+x2-2x+1>0，

設f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

當p∈[-2，2]時，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解關于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函數y=■及y=a-2x的圖象如（右圖）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由圖象可知，原不等式解集為{x∣x>■a}.

總之，對于某些不等式，必須借助于分類討論法、端點比較法和構造函數法三種方法，方能快速解決不等式問題.用以上三種方法解答不等式，對提高解題效率能起到積極的促進作用.

編輯：謝穎麗

〔關鍵詞〕 數學教學；不等式；解答；分類討論法；端

點比較法；構造函數法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解決數學問題的主要工具，應用于數學的各個領域，也是近年來高考試題中出題比較廣泛的內容.例如，求函數的定義域和值域、求參數的取值范圍、 三角函數中角的變化范圍和解析幾何中曲線位置關系的討論等，都要用不等式來解決，所以解不等式是學生學習數學的基本能力.而含參數不等式的解法是學習的難點，本文舉例說明含參數不等式的三種解法.

分類討論法

分類討論法是將含參數不等式的題進行不同的分類，依照不同的類別進行討論的方法.在日常數學問題中，當參數在未知數最高次冪的系數上時，先對參數分類討論，在每一種情況下求出不等式的解集.

例1 解關于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式變為ax2+（a-2）x-2≥0

① 當a=0時，不等式變為-2x-2≥0，解集為{x│x≤-1}；

② 當a≠0時，將不等式變為（ax-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.設x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2時，解集為{x∣x=-1}；

若a<-2時，■<-1，解集為{x∣x≤-1或x≥■}.

端點比較法

當參數不在未知數的最高次冪系數上時，先分解因式，解出方程的根，再通過比較根的大小，討論參數范圍，求出不等式的解集.

例2 解關于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式變形為（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2時，a=0或a=1，不等式解集為？覬；

②當a1，不等式解集為{x∣a

③當a>a2時，0

綜上所述，當a<0時，不等式解集為{x∣a1時不等式解集為{x∣a

構造函數法

不等式的實質是f（x）≥0或f（x）≤0的自變量的取值范圍，所以解不等式可以通過構造函數來解.

例3 對于p∈[-2，2]的所有實數，解關于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式變為（x-1）p+x2-2x+1>0，

設f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

當p∈[-2，2]時，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解關于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函數y=■及y=a-2x的圖象如（右圖）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由圖象可知，原不等式解集為{x∣x>■a}.

總之，對于某些不等式，必須借助于分類討論法、端點比較法和構造函數法三種方法，方能快速解決不等式問題.用以上三種方法解答不等式，對提高解題效率能起到積極的促進作用.

編輯：謝穎麗

〔關鍵詞〕 數學教學；不等式；解答；分類討論法；端

點比較法；構造函數法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解決數學問題的主要工具，應用于數學的各個領域，也是近年來高考試題中出題比較廣泛的內容.例如，求函數的定義域和值域、求參數的取值范圍、 三角函數中角的變化范圍和解析幾何中曲線位置關系的討論等，都要用不等式來解決，所以解不等式是學生學習數學的基本能力.而含參數不等式的解法是學習的難點，本文舉例說明含參數不等式的三種解法.

分類討論法

分類討論法是將含參數不等式的題進行不同的分類，依照不同的類別進行討論的方法.在日常數學問題中，當參數在未知數最高次冪的系數上時，先對參數分類討論，在每一種情況下求出不等式的解集.

例1 解關于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式變為ax2+（a-2）x-2≥0

① 當a=0時，不等式變為-2x-2≥0，解集為{x│x≤-1}；

② 當a≠0時，將不等式變為（ax-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.設x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2時，解集為{x∣x=-1}；

若a<-2時，■<-1，解集為{x∣x≤-1或x≥■}.

端點比較法

當參數不在未知數的最高次冪系數上時，先分解因式，解出方程的根，再通過比較根的大小，討論參數范圍，求出不等式的解集.

例2 解關于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式變形為（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2時，a=0或a=1，不等式解集為？覬；

②當a1，不等式解集為{x∣a

③當a>a2時，0

綜上所述，當a<0時，不等式解集為{x∣a1時不等式解集為{x∣a

構造函數法

不等式的實質是f（x）≥0或f（x）≤0的自變量的取值范圍，所以解不等式可以通過構造函數來解.

例3 對于p∈[-2，2]的所有實數，解關于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式變為（x-1）p+x2-2x+1>0，

設f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

當p∈[-2，2]時，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解關于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函數y=■及y=a-2x的圖象如（右圖）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由圖象可知，原不等式解集為{x∣x>■a}.

總之，對于某些不等式，必須借助于分類討論法、端點比較法和構造函數法三種方法，方能快速解決不等式問題.用以上三種方法解答不等式，對提高解題效率能起到積極的促進作用.

編輯：謝穎麗